萩野暢雄の数学教室
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★ミルクカフェ関連リンク集
はじめに
このゼミは理系一流校合格のためのものです。ですからかなりきついものもあるかも
知れませんが妥協せずについてきてください。
遅刻途中退出やる気の無い態度は禁止します。
今あなたがすべきことは予習です。ここで言う予習とはただただぶつかってくることです。
人生は選択です。
最後に次の言葉を贈ります。私の人生観そのものです。
「人は不可能だと思うとき、やりたくないと決心しているのである」
「あなたの葬式に出ている人のことを想像してごらんなさい。
彼らはあなたの人生についてなんといっていますか。そしてなんといってほしかったですか。」
これから順次問題を書いていくので期日までに回答をしてください。
期日になると私が解説します。
１．素数が無限に存在することを証明せよ。(7月13日)
素数が有限個であるとすると、それらをA1,A2,A3.......,Aｎとかける
いま、X＝A1×A2×・・・・・・×An＋１ を考えるとX＞AnなのでXは合成数
よって、XはA1,A2.、、、、、、Anのいずれかで割り切れるはずであるがどんなAｋ(Kは１～n)
で割っても１あまるので矛盾が出た
>>2
まったくそのとおり。素晴らしいです。
これは数学の世界では有名な問題ですが、なかなかの名問だと思いますよ、おーん。
背理法を導入できたかどうかが最大のポイントだ。おーん、
素数を有限個と仮定し、それをすべて掛け合わせ、その値に1をたす、という発想も高度だと思います。
では、今晩に第2回目の問題を出題したいと思います。
それじゃ、さよなら、おーん
定義できない
1じゃないの？
１＾０はｌｉｍ（ｎ→０）とみなせるので
ｌｉｍ（ｎ→０）１＾ｎをロピタルの定理を用いて変形すると
（与式）＝ｌｉｍ（ｎ→０）（１／ｎ！）×１＾１
＝ｌｉｍ（ｎ→０）１／ｎ！
＝１／１＝１ 証明終り」
分かると思いますが、２行目１＾ｎが抜けていました。。
＾は累乗です。コレであってますかね？？
ここでK＝０とすれば
１＾０＝１を得る
今ひらめいたんだけど合ってるかな？
僕からも１問出題させていただきます。。
これなんてどうかな？
「π(パイ)が無理数であることを証明せよ。」
ムズすぎ。わかる人いるの？
Xn+Xn=Zn nが2より大きい時、自然数解をもたない事を証明せよ。
ただあるところに着目したら鮮やかに解けるのです。またどこかの後期で出題されるかも・・・
解答は後日書かせていただきます。
>>17 「証明
πを有理数であるとすると
1以外に公約数を持たない自然数a、bを用いてπ＝a/bと表せる。
従って、a＝bπ
b＝a/π
これは、a、bが１以外に公約数を持たないことに反するので
πは有理数ではない
従って、πは無理数である。 証明終わり」
うーん、、難しい！！自信はないけど、これしか思いつかなかったので^^;
これを思いつくなんて、あなたタダ者じゃありませんね。
別解としては、三角関数を使う物がありますが、こちらはやや煩雑です。
今から、三角関数も考えてみます！！
「2004個の電球があり、電気はすべてOFFになっています。
電球には1から2004までの番号がそれぞれ1つずつ振ってあります。次の操作を行うとき、最後に電気がONになっている電球は全部でいくつでしょうか？
操作：1≦n≦2004に対し、
n回目にnの倍数の電球のON,OFFを入れ替える。」
つまり、
1回目の操作で1の倍数の電球のON,OFFを入れ替え、
2回目の操作で2の倍数の電球のON,OFFを入れ替え・・・
という具合に2004回操作を行うということです。
あと、電球の問題も数列を使って解こうと試みたんですが
素数が・・・ちょっと、ひらめきがたんなかったです。
今日は、疲れたんで、また考えてみます！
目指せ、全問制覇！なので、これかｋらも面白い問題おねがいします。
πが整数？ならa＝bπ
b＝a/π
これは、a、bが１以外に公約数を持たない
は正しいですが、この解答だと論理的に正しくありません。
よく読めば解ると思いますが、実際この解答でπでなくても同じ論理で進められてしまいます
(π→eとすると同様に自然対数も無理数であることが示せてしまいます？？？)
数学科いってください。
実はその矛盾？には僕も気付きませんでした。(笑)
>>30 これからもいろいろとupさせていただきます。いっしょに楽しみましょう！
>>33 少し考えて見ます。
フェルマーの最終定理ですね。ｎは自然数じゃありませんでしたっけ？
間違っていたらすいません。
電球の問題ですが、２００４回操作を行った後
ＯＮの電球を１ ＯＦＦの電球を０とすると
1,0,0,1,0,0,0,0,1…ってな感じの群数列になりますね。
また、２００４＝１＊２＊２＊３＊１６７であるから
１０回操作が行われることになりＯＦＦである。
従って、（群の数）＝（ＯＮの電球の数）といえる。
群の数は∑（ｋ＝１→ｎ）２ｋ＋１のｎであらわせ
不等式∑（ｋ＝１→ｎ）２ｋ＋１＜２００４を解いて
０＜ｎ＜－１＋２√５０２
ここで２２＝√４８４＜√５０２＜√５２９＝２３なので
４４＜２√５０２＜４６
４３＜－１＋２√５０２＜４５であるから
これに適する自然数ｎ＝４４
従って、２００４回の操作を行った後ＯＮになっている電球の数は４４個
どうでしょうか？あ、見ずらい長文すいませんでした。
ご覧のとうり、記述力が乏しいのですが、
何か対策があれば教えてください！！
志望大学は名大以上と思っています！！
>>39 国語の対策ですか？
1，2，3のみを使ってｎ桁の数を作る。例えば5桁なら22312とか。
そのとき，3の倍数はいくつできるか。
数学オリンピックの問題を改作してみました。
いえ、国語ではなく、数学の回答の仕方
とでも言うんですかね？？
上手くかけないんですよ^^;
でも自信ないんですよね～
これから、練習して自信つけます^^ありがとうございました。
講師名：小笹 俊之
設置校舎： 京都校
＜テーマ＞図形と方程式、三角関数、微分法・積分法、ベクトル、数列
＜内容＞数学ＩＩ・Ｂの重要分野について、基本から標準レベルの問題を解くことによって、基本事項の徹底的な理解を目指します。それによって、問題を解くときの解法の糸口を正しく把握できる力を養成します。
それじゃがんばってね。
＞＞４１
ｎ桁で各桁の和が３の倍数、３で割って１あまる、３で割って２あまるものをそれぞれ
Ｘn、Ｙn、Ｚnとおく(補助列の導入)
ある数が３の倍数⇔ある数の各桁の和が３の倍数
なので
Ｘ(n＋１)＝Ｘn＋Ｙn＋Ｚn
Ｙ(n＋１)＝ 〃
Ｚ(n＋１)＝ 〃
Ｘ1＝Ｙ1＝Ｚ1＝１なのでこれらを解いて
Ｘn＝３＾n-1
よって、３＾n-1個できる
なんかどっかでものすごい勘違いしてる気がする
（１）１桁のとき・・・３（１つ）
（２）２桁のとき・・・１２、２１、３３（３つ）
（３）３桁のとき・・・１２３の並べ替えたもの６つ、１１１、２２２、３３３（９つ）
で、これは初項１公比３の等比数列
よってｎ桁目は、第ｎ項と一致するから３＾（ｎ－１）
これから、またいつか一問だけトンデモなく難しい物を出題したいと思います。
たかが知れています。
別に批判するわけではないんですが、気分悪くしたらごめんなさい
この解答だと、あくまで予想に過ぎずきちっと帰納法？などで裏付けをする必要があります
私もいろいろ考えたんですが私の力量だと上記の連立漸化しきを用いる解法しか思い浮かびませんでした
何かうまい方法ないですかね。是非教えて欲しいです
今から帰納法でやってみようと思います。
その数の適当な或る桁に対して1を加えたばあい、それは3で割れば1を剰余とするであろう。
2を加えた場合、それは2を剰余とするであろう。
ただし、3に1を加えれば1に戻るものとして考える。
これらの構成は、選ばれた数の性質、選ばれた桁の性質に依存せず普遍的に成り立つ。
また、この構成を、条件を満たすすべての数に対してすべての桁に対して行うことで、
3で割った剰余が0、1、2となる、同数の数を作り上げる。
また、一つの操作によって変化する数字は一つのみであるのに対し、
3の倍数を3の倍数に移すには最低二つの数を変化させる必要があることから、
この操作で構成される数に重複がないこと(操作が単射であること)は自明である。
(どのように異なる二つの3の倍数を選んできても、上記の操作によって同じ数に移ることはない)
また、操作の対称性ゆえに、逆の操作も単射である。ゆえに、この操作によってn桁の数を不足なく数え上げている。
ゆえに、1、2、3のみで構成されるn桁の数のうち、3で割った剰余がそれぞれ0、1、2であるものの数は互いに相等しい。
ゆえに852
上手く、頭の中のイメージを言葉にできないって言うか、記述力ないんですよね^^;
きっと、大学の入試だったら、この問題の
僕の点数は、１０点満点で２点ぐらいだと思います。
ぱっ、と、ひらめいたはいいけど、どうしよう・・・みたいなのが多くて^^;
>>57大したことないですよ～。６５いくかいかないかくらいですね。
あ、河合で。
極限の問題なんかでも答え合ってても論理に欠陥ある場合はかなり減点されますからね
ここで切磋琢磨してお互い記述力を磨いていきましょう。
>>61教え子さんも高校生なんですか！？
・・・賢い^^;
ちなみに志望大学はどのくらいなんでしょうか？
現役んときは偏差７０くらいですね(駿台全国)
今の私には荷が重いです。(>_<)
僕はこないだも書いたように名大以上
具体的には名大理学部、東大理一ですねー
でもまだ受験勉強始めてないので、名大もあぶないです^^;
ひょっとしたら違うかもしれませんが。
来年、今年度は医学部だけ国、数、英になったような気がします。
>>67 僕も気になります！教え子さん、お願いします。
医学部なのに、理科ないとかありえませんね^^;
国、数、英、理の間違いでした。
でも、そもそも今年度変わるっていう保障は僕はしかねますけど^^;
πを有理数と仮定して、π=a/b(a,bは互いに素な整数)とおく。
ここで、原点をＯとする単位円を考える。第一象限の点Ｑを考えて一般性を失わない。
このとき、角ＰＯＱ=π/n 「nは正の任意定数」とおける。
弧ＰＱ=２×π/n×1/π=1/n -①
また、弧ＰＱ=1×π/n=π/n -② とも書けるので、①、②を連立して、π=1⇔a/b=1
これは、a,bが互いに素であるという仮定に反する。
よって、背理法により、πは無理数である。
もし解答に間違いなんかがあればご指摘をお願いします。
角ＰＯＱ=π/n 「nは正の任意定数」とおける
とありますが、nは任意ではなくQに依存するQの関数としないとまずくないですかね？
①なんですが、最後に１／πをかけているところがわからないんですが。
あくまでも自分の考えなんですが、高校数学におけるπの定義は基礎を線分や面積においている気がするので、図形的アプローチは困難な気がします
というのは、面積の定義すら説明できないのですから
πとは正無限角形において定義できる？ので極限と、積分にもπがよく出現することから
数３の内容を使って証明するのが自然な流れなんですかね。
積分漸化式を使う証明なら荻野先生が自作問題で作っておられました(とてもここに載せる気がおきないくらいごつい積分漸化式ですが)
①についてなんですが、すみません。書き間違えました。πではなく２πの間違いです。
「弧長」＝｛直径｝×π×｛角｝÷２πのつもりです。
あと、①については、πも抜けていますね。完全に私の答案は終わっております。(笑)
とりあえず、顔洗いなおしてもう一度考えてきます。(汗)
まずはじめにその数の１の位と１００の位を入れ替えてください
はじめの数と入れ替えたものの差(☆とします)を作ってください(大きい方から小さいものを引いてください)
今度は先ほどと同様に、今の計算結果の１と１００の位を入れ替えたものをつくり
☆と今入れ替えたものの和を考えてください
１０８９じゃないですかね？
ｑ
πが有理数であると仮定すると，π２＝──となる０でない整数ｐ，ｑが
ある． ｐ
これを，３．で求めた式に代入すると
ｎ！ n ｐ
I＝ ── Σ (－１)ｋ(ａ２ｋ＋ｂ２ｋ)( ── )ｋ
π k=0 ｑ
両辺にπｑｎをかけ，ｎ！で割ると
πｑｎ ｎ
───×Ｉ＝Σ(－１)ｋ(ａ２ｋ＋ｂ２ｋ)ｐｋｑｎ－ｋ となる．
ｎ！ k=0
ここで，左辺は正の数であり，右辺は整数である．
よって，１以上の整数となる．
πｑｎ
４より,０＜Ｉ＜１なので ───≧１が全ての自然数ｎに対して成立する．
ｎ！
ｑｎ
ところが，[１]より ───はｎが大きくなると０に近づく．
ｎ！
πｑｎ
よって，ｎを大きくすると ───は１より小さくなる．
ｎ！
このように，πが有理数と仮定すると矛盾が生じる．
よって，πは無理数である.
ｑ
πが有理数であると仮定すると，π２＝──となる０でない整数ｐ，ｑが
ある． ｐ
これを，３．で求めた式に代入すると
ｎ！ n ｐ
I＝ ── Σ (－１)ｋ(ａ２ｋ＋ｂ２ｋ)( ── )ｋ
π k=0 ｑ
両辺にπｑｎをかけ，ｎ！で割ると
↓ｎ乗です
πｑｎ ｎ ↓ｎ－ｋ乗です
───×Ｉ＝Σ(－１)ｋ(ａ２ｋ＋ｂ２ｋ)ｐｋｑｎ－ｋ となる．
ｎ！ k=0 ↑ｋ乗です
ここで，左辺は正の数であり，右辺は整数である．
よって，１以上の整数となる． ↓ｎ乗です
πｑｎ
４より,０＜Ｉ＜１なので ───≧１が全ての自然数ｎに対して成立する．
ｎ！
↓ｎ乗です
ｑｎ
ところが，[１]より ───はｎが大きくなると０に近づく．
ｎ！ ↓ｎ乗です。
πｑｎ
よって，ｎを大きくすると ───は１より小さくなる．
ｎ！
このように，πが有理数と仮定すると矛盾が生じる．
よって，πは無理数である.
あと、遅ばせながら三角関数を使った解答を今から書かせていただきます。
３の式というのは、
1 n n
I＝ ∫ ｘ・(１－ｘ)・sinπｘｄｘ
ｎ！ｎ １
＝ ── Σ(－１)ｋ(ａ ＋ｂ )───
π K=0 ↑ 2k 2k 2k←2k乗
ｋ乗 π のことです。
手違いがあって申し訳ない。
あと、４というのは,０＜Ｉ＜１ということです。
３の式というのは、
1 n n
I＝ ∫ ｘ・(１－ｘ)・sinπｘｄｘ
ｎ！ｎ １
＝ ── Σ(－１)ｋ(ａ ＋ｂ )───
π K=0 ↑ 2k 2k 2k
ｋ乗 π のことです。
手違いがあって申し訳ない。 ↑
πの２ｋ乗
あと、４というのは,０＜Ｉ＜１ということです
83はミスプリです。訂正します。
３の式というのは、
1 n n
I＝ ∫ ｘ・(１－ｘ)・sinπｘｄｘ
0
ｎ！ｎ １
＝ ── Σ(－１)ｋ(ａ ＋ｂ )───
π K=0 ↑ 2k 2k 2k
ｋ乗 π のことです。
手違いがあって申し訳ない。 ↑
πの２ｋ乗
あと、４というのは,０＜Ｉ＜１ということです
83.84はミスプリです。訂正します。本当にすみません。
なんか、ものすごいですね・・・^^;僕はこんなのヒラメクの無理ですねぇ。
僕もそろそろ出題させていただきます。東大の過去問にこんなのありました。
「πが３．０５より大きな数であることを証明せよ」
回答があまりにもスマートで感動してしまいました。
みなさんも挑戦してみてください。
ここで半径 １ の円に内接する正八角形を考えるとき、一辺の長さをｒとすると、円周は正八角形の周より長く、
8 ＜ 2π …（Ⅰ）
さらに正８角形を八等分してできる三角形について余弦定理より、
ｒ2= 1 + 1 - 2・1・1・cos45°= 2 - √2
↑2乗
3.05の2乗 = 9.3025 ≦ 2 = 16 ( 2 - √2 )
√2 ＜ 1.415であり、 16√2 ＜ 16 × 1.415 = 22.64 となるから、
⇔ 16√2 ≦ 22.698
よって3.05×3.05≦ 16×r×r <π×π となり、証明されます。
こんな感じでいかがでしょうか・・・・
「お洒落」という意見は自分には新鮮でした。なんかありがとうございます。