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2 名前：名無しさん [2008/05/06(火) 22:04] 質問する方は解答がわかっているなら書いてくれると助かります。
入試問題で学校名・出題年度がわかっている場合は書いてください。
(または参考書等の何ページかなど)
大学入試の過去問と解答が掲載されているサイトも参考にしてください。
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/index.html
http://www.yozemi.ac.jp/nyushi/nyushi.html#kakomon
http://www.sundai.ac.jp/yobi/sokuhou2008/index.htm
http://www.sundai.ac.jp/yobi/sokuhou2007/index.htm
http://www.densu.jp/
名前とトリップを付けてみました。
前スレ998
[ 数学質問スレッドⅢ ]
への返信です。
> [1]は {GA}+{GB}+{GC}={0} がわからないと解けないですか？
気付かなかったらということでしょうが…
{AM}={GM}-{GA}=({b}+{c})/2 - {a}…★
問題では{c}を消去することになっているので，{c}を{a}と{b}で表すことを考えます。
{OG}=({OA}+{OB}+{OC})/3
=({GA}-{GO}+{GB}-{GO}+{GC}-{GO})/3
=({a}+{b}+{c}-3{GO})/3
=({a}+{b}+{c})/3-{GO}
よって
{a}+{b}+{c}={0}…気付かなくても導ける
{b}+{c}=-{a}
となり，これを★に代入すれば解けることは解けます。でも
・問題ではGを始点としたベクトルを考えている
・{OG}=({OA}+{OB}+{OC})/3は覚えていることになっている
・上のOは好きな点にしていい
ということから気付いてほしいところです。
> [2]で{p}={GM}+t{CA} はわかるのですが、{GM}と{CA}の求め方が・・
これはわかってほしい部分です。
Mは辺BCの中点なので
{GM}=({GB}+{GC})/2=({b}+{c})/2=-{a}/2…最後は{b}+{c}=-{a}より
{CA}は始点がGでないので
{CA}={GA}-{GC}={a}-{c}={a}-(-{a}-{b})=2{a}+{b}
({c}=-{a}-{b}より)
とします。
よって
{p}={GM}+t{CA}=-{a}/2+t(2{a}+{b})=(2t-1/2){a}+t{b}
となります。
これって4STEPの75番ですか？
重心が始点の位置ベクトルの問題は初めてかもしれませんが，
位置ベクトルの初めの方の問題(44，45番)が身についていないようです。
といいつつ僕もPDFで説明した51(2)の点Pが重心だと気付きませんでしたね。
まあでも，先に進みすぎだと思います。
予習なので，わからなかった部分は学校の授業で理解すればいいのではない
でしょうか？目的を持って授業に臨めるので非常にいいと思いますよ。
そうです。７５番です。
学校でもう一度考えたらできました。
復習はちゃんとやろうと思います。
では７６番の問題も同じでしょうか・・？（２直線ｌ、ｍの問題）
（１）で、ｘ＝ｓ、ｘ＝６－２ｔはそのままｘが共通だからｓ＝６－２ｔとできるのですか？？
>>4
問題番号合ってるようですね。
76(1)もその通り…というか2つのベクトルが等しくなるってことですから
x成分，y成分がそれぞれ等しくなるようなs，tを求めるわけです。
sとtは一方だけ求めれば十分です。sが求まったらlの式に代入すればいいので。
ただ，この問題はそうやって解けば答合わせができるはずです。
2007慶應義塾大学
ベクトルa↑,b↑について,|a↑|=2,|b↑|=1,|a↑+3b↑|=3とする。
このとき内積a↑・b↑の値はa↑・b↑=（ア）である。
またがt実数全体を動くとき|a↑+tb↑|の最小値は（イ）である。
よろしくおねがいします！
>>6
基本的な問題です。
ベクトルの大きさの2乗はそのベクトル同士の内積です。
というわけで↓に出ています。
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/07/ko1-21a/3.html
>>7
考えてみたら簡単でした！
2007防衛大学校
平面ベクトルa↑,b↑について,|a↑+2b↑|=1,|2a↑+b↑|=1であるとき,
|a↑-3b↑|のとりうる値の最大値を求めよ。
これも二乗すれば良いのでしょうか…？
>>8
そうです。
似たような問題を集めた問題集(プリント？)みたいですね。
今度はtが入ってませんが，どこが変化するのか考えてみてください。
学校の課題プリントです(；_；)
とりあえず３つの式を二乗してみたのですが
どうしたらいいかわかりません…！
>>10
すみません，これちょっと難しいですね。
a↑+2b↑=x↑
2a↑+b↑=y↑
とおき，a↑，b↑をx↑，y↑で表します。
その後，|a↑-3b↑|^2をx↑，y↑で計算し，
x↑・y↑
の部分が変化するので最大になる場合を考えます。
(|x↑|=1，|y↑|=1です)
>>11
a↑+a↑=2a↑のように、ベクトル通しは普通に足し算できますか？？
>>12
もちろんです。ベクトルの最初の方で習ってますよ。
a↑-3b↑=(-7x↑+5y↑)/3
まではいいでしょうか？
すると|x↑|=1，|y↑|=1を利用して
|a↑-3b↑|^2=74/9-(70/9)x↑・y↑
となります。ここまで理解できたら続きを書きます。
やっぱり書いておきます。
内積の性質(定義)より
-|x↑||y↑|≦x↑・y↑≦|x↑||y↑|
ですよね。今は|x↑|=1，|y↑|=1なので
-1≦x↑・y↑≦1
です。よって74/9-(70/9)x↑・y↑の最大値は
74/9+70/9=144/9=16
よって(これは2乗だったので)答は4です。
>>13
a↑，b↑をx↑，y↑で表すまではできたのですが
その先がよく分かりません
>>15
a↑-3b↑=(-7x↑+5y↑)/3
はどうですか？
そのあとは
|(-7x↑+5y↑)/3|^2
を計算します。
(1/9)|(-7x↑+5y↑)|^2
として計算した方がいいかもしれません。
>>16
解けました！
2006日本女子大
ベクトルa↑=(4,0),b↑=(√3,√5)について
v↑=(cosθ)a↑+(sinθ)b↑ (ただし,0≦θ<2π)
とおくとき,v↑の大きさの最大値,最小値,またそのときのθの値を求めよ。
できればこちらもよろしくお願いします><
>>17
これは成分を計算すればいいのですが，三角関数の最大・最小の問題になります。
別の問題の解答ですが
http://sakuratan.ddo.jp/uploader/source/date81149.pdf
の最初の問題の解説を参考にしてください。変形の仕方は同じです。
問題はもっとあるのですか？
>>18
なんとか解けました。
問題はこれが最終問題でした。
遅くまでありがとうございました！
>>19
答(数値のみ)は持っていたのでしょうか？
手元の問題集に同じ問題があったので，必要なら数値を書きますよ。
余裕ですね。明日難問持ってくるよ。
22 名前：名無しさん [2008/05/08(木) 01:33]正確には今日か・・・・
23 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/08(木) 01:34] >>21
いや，別に解答者のテストをする必要はないでしょう。
１＋１＝７×６
この証明をして下さい。（オリンピック予選問題）
>>24
北京オリンピックですか？
そうです。さすが中国っぽいでしょ？
27 名前：通りすがり [2008/05/08(木) 01:39] この前の問題だけどさ。大数の新演習に載ってるから
見といてね♪
ちなみに京医って暇だな～一年次は
29 名前：通りすがり [2008/05/08(木) 01:41]夜更かししようぜ。先輩！！
30 名前：通りすがり [2008/05/08(木) 01:43] 中年独身ニートって言葉が流行って困るのよ。
先輩も被害者っすよね？？
ごめんなさいッス。無駄スレしました。
32 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/08(木) 01:47] >>26
1+1-7×6=-40≠0よりこの等式は成立しない
何の競技の予選ですか？走り幅跳び？
>>27
見てみました。理科大の問題でD#なんですね。
しかし，僕の答は(1)が間違っていて(2)は訂正後なら合ってますよ。
へへへ、１＋１＝を組み合わせると４２になるんすよ。
小学生のガキにだされて困りましたよ。
でも＝使ったら等式成り立たないところがかわいいっすね。
見てみました。理科大の問題でD#なんですね。
しかし，僕の答は(1)が間違っていて(2)は訂正後なら合ってますよ。
流石、はやいですね。おっしゃるとおりっす。
また近いうちに来ますんで、真希さんとかの邪魔にならない程度に
雑談しましょうや！！。いつもお疲れさまっす。
>>33
「正しいという漢字を一筆書きで書ける？」
と生徒に言われ困っていたら別の生徒が教えてくれました。
>>34
問題の入れ替えがあるかもしれませんが，2つ上の東大の問題も
D#だけど当時の基礎解析の範囲みたいです。古い本に出てました。
文系の人が解いてたんですかね。
数学の質問と関係ないのでこのへんで。
>>20
すみません、見ていませんでした！
昨日はお世話になりました。
a↑=(1,x) b↑=(2,-1) について,次の問いに答えよ。
(1) a↑+b↑と2a↑-3b↑が平行であるとき,xの値を求めよ。
今日もよろしくお願いします><
xの関数f(x)と0<h<1なる実数hを用いて
f(x+h)=f(x)+hf'(x+ah) ・・・・(*)
を満たすaを考える。このときlim(h→+0)aの値が1/2となることを示せ
という富山医薬大学の改題なんですけどどうしたらいいでしょうか?
(+)は平均値の定理を変形したもので、
y=f(x)に関して点X(x.f(x))と点Y(x+h.f(x+h))、点Z(x+ah f(x+ah))
とするとき割線XYが点Zでの接線にどんどん一致して行き、hが0の近傍ではXYの中点がZである
ってことだと思うんですけど証明が・・・・
恐らく挟み撃ちの原理になるのは間違いないんですがどのように評価したらいいでしょう?
y=f(x)の割線XWが
最後に変な文が入ってますが気にしないでください。
40 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/08(木) 23:22] >>37
成分で計算して
k( a↑+b↑)=2a↑-3b↑
となるようにxを定めるのですが，これは易しいですよ。
(1)ということはもっと問題があるのでしょうか？
あるのならまとめて書いてください。
>>38
これは難しそうですね。
しばらくお待ちください。
>>38
f(x)にもっと条件はないですか？
(n次関数だとか)
>>41
残念ですけど特に指定がない関数です。
富山の問題自体はe^xだったみたいですが。
>>42
そうなんですか，本当に難しそうですね。
すぐには答えられないかもしれません。
急がないので名案が思いついたら是非教えてください。
45 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/09(金) 00:11] >>37
解答です。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18665.pdf
>>44
わかりました。僕も興味あるので考えてみます。
グラフで考えて御覧なさい♪規則性が見えるはずよ
47 名前：静香 [2008/05/09(金) 00:24] >>45
ありがとうございます！
すみません続きがあったのですが、
a↑とb↑のなす角が60°であつとき,xの値を求めよ。
おねがいします。
>>47
60°で「あるとき」の間違いです
>>47
成分で計算するだけですが，数学苦手ですか？
昨日は入試問題でしたが今日はそうではないので…。
あと，xはルートが出てきますか？
かなり苦手です…
一応2004年静岡大の入試問題です！
自分でやってみたのですが、2-x=1/2√(5+5x^2)になってしまい…
>>50
そうですか。
静岡大学かあ。
両辺を2乗した内積の式を考えます。
(3)以降はありますか？
(解答作成中です)
>>51
(1)と類題で垂直の問題がありましたが、自力で解けました！
すみませんが分からない問題をまとめておきますので
よろしくお願いしますm(_ _)m
2007年甲南大学
0↑でない２つのベクトルa↑,b↑がある。2a↑+b↑と2a↑-b↑が垂直で,
かつa↑とa↑-b↑が垂直であるとき,a↑とb↑のなす角を求めよ。
これはcosθ=|a↑|/|b↑| になってしまい、そこから止まっています；
2006年公立はこだて未来大
２つのベクトルa↑=(1,√3)とb↑=(1-c^2,2c)のなす角が60°となるような
cをすべて求めよ。
>>52
(2)の解答です。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18666.pdf
2つ目の問題は今回解答を作った問題と同じ感じだと思います。
>>52
■上の問題
初めの関係式から
4|a↑|^2=|b↑|^2
より
|b↑|=2|a↑|…★
が得られ，
2つ目の関係から
|a↑|^2=a↑・b↑
ですが，(なす角をθとして)
a↑・b↑=|a↑||b↑|cosθ
に★を代入すればcosθ=1/2となり，
なす角は60°とわかります。
■下の問題
内積の式を2乗して考えますが，
(c^2-2√3 c-1)^2=(c^2+1)^2
となり，ここから展開せずに移項して因数分解します。
(A^2-B^2=(A+B)(A-B)を利用)
>>54
(c^2-2√3 c-1)^2=(c^2+1)^2
の右辺は、(1-c^2)^2+4c^2 になってしまいました。
(c^2+1)^2はどこから導いたらいいのでしょうか？
>>55
それを展開して因数分解してください。
>>56
解けました！ありがとうございました(^_^)
>>57
今夜は終わりでしょうか？
>>38 を考えてみましたが，まだわかりません。
f(x)を特定の関数にしてaの極限を求めてみました。
定数関数と1次関数のときは，aは任意の値で成立
2次関数と3次関数のときはa=1/2
ただし，hが消えてしまうので実際に極限の計算をしたのは3次関数だけです。
何かの問題を解いていて気付いたのだと思いますが，>>38 に書いてあることは，
極限を取らなくても2次関数の場合に成立することを知っていました。
f(x)=e^xの場合，a=…にしたときの右辺の極限は求め方がわからないのですが，
h→+0のとき，aがどんな値でも等式が成り立ちそうです。
質問ですが，
1.f(x)は一般の(微分可能な)関数という仮定だけですか？
(定数関数じゃないとかf’(x)≠0という仮定はないですか？)
2.aの条件はないですか？a≠0とかa>0とか
どうでしょう？
今日は早く寝てしまいそうなので，質問に答えられないかもしれませんが，
書いておいていただければ，明日答えるつもりです。
特にaに関して条件はないんですよね・・
ただ与式の意味から0<a<1と考えてしまってもとりあえずいいんじゃないかなとは思っています。
f(x)に条件はありません。微分可能とは書いてないですけど式から微分可能であることは
明らかなので実質上それだけですね・・
e^xで証明するときは1+h+h^2/2< e^h <1+h+ (h^2/2)*(1+h)
という不等式からlim(h→+0)aを求められます。
例のt^p/e^t→0を示すときの評価式と似たような評価です
1998年甲南大学
３辺の長さa,b,cがすべて整数である直角三角形に対し、その内接円の
半径が２であるとする。
(2)a+b-c=4を示せ。
(3)aの値を求めよ。
(4)(a,b,c)の組をすべて求めよ
(1)で1/2ab=a+b+cを示しています。
毎日お世話になってすみません(>_<)
>>61
図形問題では「接するとか90度という条件をみたらこれを中心に考えていく」とうまくいくことが多いです
また、整数問題では予め「a≦b≦cのように文字に大小をつけてひとまず議論」し
最後にa.b.cの大小を取っ払って場合の数を列挙して答えとするという作業はよくでてきます
(2)「円の中心と頂点を結ぶ」「中心と接点を結ぶ」と、
三角形がいくつか出来上がるのでそこから面積を考えます
(3)ではa≦b≦cとかんがえて、a+b-c=4と三平方の定理の連立で(a-4)(b-4)=8からもとまります。
(4)(3)ができれば問題ありません
「」でくくった部分は定石に近いよくある考え方です
>>62
すみません、数学が苦手なものでよく分かりません(T_T)
詳しく解説お願いできますか？
(2)に関しては
内接円の中心をO, 三角形の頂点をA.B.Cとし辺AB,BC,CAでの
内接円との交点をそれぞれD,E,Fとすると、
⊿AOD≡⊿AOF , ⊿BOD≡⊿BOE , ⊿COE≡⊿COFだから
よって ⊿AOB=⊿AOD+⊿BOD=⊿AOF+⊿BOE
面積を計算して
(1/2)*(a-2)*2+(1/2)*(b-2)*2=(1/2)*c*2
これよりa+b-c=4
(3)は 条件よりc=a+b-4
また、a≦b≦cとすれば三平方の定理よりa^2+b^2=c^2
したがってa^2+b^2=(a+b-4)^2
これを計算すれば(a-4)(b-4)=8
a≦b⇔a-4≦b-4 であり、a.bは整数なので
(a-4,b-4)=(1,8)or(2,4)⇔(a.b)=(5.12)(6.8) a≦bの大小をはずせばa=5.6.12.8(それに対応してbも求まる)
http://miyazaki.jpn.ch/deblog/20041102_01.wmv
66 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/09(金) 23:27] 起きてしまいました…。
>>60
そんな不等式まで使いますか。
う～ん，難しいなあ。
>>61
解説を書いていた方が来なかったら代わりに答えます。
>>61
(1)は面積を2通りに表して求めたんですよね？
長さcの辺が斜辺のというのがわかっていますね。
(なぜわかるかは不明…問題に書いてありますか？)
これがわかっているとして以下，解答を書きます。
また，
斜辺の長さがcなので∠C=90°
長さaの辺は点Aの対辺，長さbの辺は点Bの対辺
>>62 にならい，辺AB，BC，CA上の円との接点をD，E，F
とします。
(2)
三角形ABCに円が内接している図は描きましたか？
∠C=90°と内接円の半径が2であることから
CE=CF=2
接線の性質(接線の長さは等しい)より
BE=BD=a-2
AF=AD=b-2
よって
AB=BD+AD=a-2+b-2=c
したがって
a+b-4=c
>>61
(3)はaだけを求める問題だったんですね。
別の解法(>>64 と同じ)を書いてしまったのですが，消すのはもったいないので
あとで書きます。
あとで書く別解にも書きましたが，整数の問題では約数の性質がよく利用されます。
ab-4a-4b+8=0
をbについて解くと(b=…の形にすると)
b=(4a-8)/(a-4)
です。これを次のように変形します。
b=(4a-16+8)/(a-4)=(4(a-4)+8)/(a-4)=4 + 8/(a-4)…★
bは整数なので8/(a-4)も整数。よって(割り切れるので)，a-4は8の約数。
したがって
a-4=1，2，4，8，-1，-2，-4，-8
となるので，
a=5，6，8，12，3，2，0，-4
0と-4はもちろん×。3と2も★に代入するとb≦0となり×。
よって
a=5，6，8，12
■a-4は0以下だとダメなのですが調べた方が速そうです
(4)
bは★から，cは(2)のa+b-4=cから求めます。
>>61
この解法の方がいいと思いますがaとbが同時に求まるので別解にしました。
(3)と(4)
(1)と(3)の結果からcを消去して式を整理すると
ab-4a-4b+8=0
となります。
整数の問題で非常によくある問題なのですが，約数の性質を利用します。
X，Yが整数でXY=8ならXとYは8の約数(負もあり)です。
今回も同じことを考えます。しかしそのままでは利用できないので因数分解
します。因数分解するとしたら
(a-4)(b-4)
の形になるはずってわかりますか？
ab-4a-4b+8=0
なので両辺に8を加え，
ab-4a-4b+16=8
(a-4)(b-4)=8
を得ます。
(慣れたらa≦bと仮定した方がいいのですが，今回は仮定しません)
こんな表を書いてください。
a-4|8 4 2 1
────────
b-4|1 2 4 8
a-4，b-4は8の約数です。縦に見て積が8になるように書いています。
---注意---
-8と-1なども書いてもいいのですがa，bがともに正の数になるには
a-4，b-4がともに5以上にならなければならないので除外しました。
気付かなければ書いてもかまいません。
----------
あとは上の表で移項します。
a|12 8 6 ..5
──────── 位置合わせの.が入っています
b|..5 .6 8 12
cは(2)のa+b-4=cから求めます。
曲線C y=(e^x +e-^x)/2の上を動く点Pを考える。速度の大きさは1でありx成分は正とする
また点Qを点PにおけるCの法線上にありPq=1で領域y>(e^x +e-^x)/2に属しているものとする。
(1)Pのx座標をuとするとき、Qの座標を求めよ
という03年度北大後期工学部の問題なんですが解答に法線の方向ベクトルb↑=(-f'(u),1)なので
PQ↑=1/f(u)(-f'(u),1)だからOQ↑=OP↑+PQ↑より求まるとあり、それはそれでふーんと思うのですが
試験上に行き自分で解答を書こうとするとこの手の問題でベクトルを使える自信がありません。
法線の式をたててQの座標を8a.b)とでもしてPQ=1の式と点Qが法線上という式の連立から
無理やり計算で解いてしまいそうなんですが、この問題でベクトルを持ち出した根拠として
どのようなことを考えたのだと思いますか?
数3にはいって接線をみたら必ず接点を主役にして微分で計算しろ。mとおくな！と教えられたのですが
接線の傾きをmとしてベクトルで捉える解答とかもパラメーター曲線のところ等で良く目にするので
(そうしないと計算が汚くなる)自分の中で定石だったものがぐんぐん崩れてきているのか実感できます・・
>>70
> PQ=1の式と点Qが法線上という式の連立
とありますが，ある直線上の点で，PQ=1となる点をまともに三平方の定理で求めて
しまいそう…ということでしょうか？
数2の教科書にありそうな問題で，直線に関して対称な点を求めろっていうのがありますよね。
手元の教科書だと「2x-y-1=0に関して点A(0，4)と対称な点Bの座標を求めよ」が出てます。
この問題でもその方針だとかなり大変そうなので，僕は避けようと考えます。
ベクトルを持ち出した根拠は書き表しやすいからですかね。あと，
直線の傾きの積が1
ベクトルの内積が0
は成分で書けば同じですが，内積なら
分数の計算にならない(不正確な表現ですが)
x軸・y軸に関して平行・垂直でもかまわない
のが便利です。
以下自信なしです…。
傾きをmをとおくな，というのは微分を利用しろという意味ではないでしょうか？
解答の法線の方向ベクトルは微分を利用して求めてますよね？
>>71
すみません，最後の2行(3行)はおかしかったですね。
>>73
>ある直線上の点で，PQ=1となる点をまともに三平方の定理で求めてしまいそう
はい。そんな感じです。三平方の定理というより二点間の距離の公式をイメージしましたけど
まぁ同じことですよね。
やっぱり書きやすいって言うのがメリットなんですかね・・
中々難しいです
>>73
ベクトルを利用すると解きやすくなるという問題は大切ですが，
1冊の参考書・問題集にたくさん出ているわけではないので
身につけにくいかもしれませんね。
こんにちは。
教科書ｐ４５の練習３５が証明できません。
教えてください。
>>76
p45のそれまでと同じように内積を利用します。
{PA}・{CA}=0
({CA}-{CP})・{CA}=0
|{CA}|^2-{CP}・{CA}=0
{CP}・{CA}=|{CA}|^2
よって結論の式が得られます。
今日は質問続きますか？
質問したいです。
４ステップの８０番がわかりません。
あっ、やり方はわかったのですが、どうやったら２つの式が出せるのかがわかりません。
80 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/10(土) 19:55] >>79
{OD}が2つあるってわかりますか？
(点Dは練習35の点Aに相当します)
{OD}は{n}に平行で大きさが4なので
{OD}=(±4/|{n}|) {n}
です。カッコは掲示板用で本当はいりません。
{n}/|{n}|
とすることで大きさが1になります。
どうして{OD}=(±4/|{n}|) {n} という式になるのですか・・？
82 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/10(土) 20:26] >>81
>>80 の最後の2行の意味はわかりますか？
{n}に平行で大きさ1のベクトルです。
これを作れば{n}に平行で，好きな大きさのベクトルが作れます。
-4の方は逆向きということです。
教科書ｐ１５のことですか？
もう忘れてしまっていました・・
練習６の（１）は３｛e｝ですよね？
>>83
±3{e}です。
そうですね。
８１、８２のことですが、もう少し説明してくれませんか？
なぜか混乱してしまってよくわかりません。
教科書にかいてあるのとどう違うのか・・
>>85
>>80 に書いた
> {OD}が2つあるってわかりますか？
> (点Dは練習35の点Aに相当します)
はいいでしょうか？
問題で与えられている{n}は{OD}と平行というだけです。
ここまではわかりますか？
わかります。
88 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/10(土) 21:53] >>87
では{OD}を{n}から作るのですが，{n}は{OD}の何倍かですよね。
|{OD}|=4
なので{n}と平行な単位ベクトルを作って4倍すればいいわけです。
理解はできますが、「単位ベクトルを作って」と普通に言っていますが、このことが大事なのでしょうか？？
90 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/10(土) 22:11] >>89
大きさ1のベクトルを作れば，それを使って好きな大きさのベクトルが作れますよね。
だから単位ベクトル(大きさ1のベクトル)が大事なんです。
なるほど。
続きの説明お願いします。
>>91
{OD}=(±4/|{n}|) {n}のあとですか？
はい。
94 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/10(土) 22:36] >>93
教科書p45練習35と同じです。
{OD}・{DP}=0
より
{OD}・({OP}-{OD})=0
{OD}・{OP}-|{OD}|^2=0
{OD}・{OP}=|{OD}|^2
ここで
{OP}=(x，y)
|{OD}|=4
{OD}=(4/|{n}|) {n}…説明は+の方だけにします
|{n}|=2
より
2(-1，√3)・(x，y)=16
(-1，√3)・(x，y)=8
-x+(√3)y=8
となります。-の方も同様です。
教科書p43の1を利用してもいいです。
眠いのでそろそろ寝ます。
数時間で起きると思うので質問のある方は書いておいてください。
突然すいませんが、どうしても分からないので教えてください。
１，男子３人、女子５人が１列に並ぶとき、
男子同士が隣り合わないような並び方は何通りあるか
２，α＝ー１－√７のとき、
Ａ＝２α^３ー３α^２＋４αー５の値を求めよ。
３， １＋√５
α＝￣￣￣￣の時、α^４ー３α^３＋α^２＋３α＋１
２ の値を求めよ
４，ax^3+bx^2-4x-3について、次の問に答えよ
（１）ｘ^２－２ｘ－１で割り切れるようにa,bを定めよ
５，ｘ^９９ー１をｘ^２ー１で割ったときの余りを求めよ
６，p,qは相異なる実数とする。
整式ｐ（ｘ）＝ｘ^３＋ｐｘ＋ｑとＱ（ｘ）
は共通因数Ｒ（ｘ）を持っているとする。
このとき次の問に答えよ。
（１）Ｒ（ｘ）は二次式でないことを示せ
（２）ｒを実数として、Ｒ（ｘ）＝ｘ＋ｒとするとき、
ｐとｑの関係およびｒの値を求めよ
（３）ｐ＝０の時を考える。整式Ｓ（ｘ）はＰ（ｘ）とＱ（ｘ）
でともに割り切れる整式のうち次数が最小で
最高次数の項の係数が１であるとする。
この様なＳ（ｘ）を求めよ
2(-1，√3)・(x，y)=16 で、2(-1，√3)のところを(-2，2√3)とやってしまいそうなのですが・・
教科書p43の1を利用する場合は、Dの座標が±4/|{n}|) {n} になるのですよね？
>>96
1～5の解答です。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18698.pdf
6はQ(x)の条件がないと解けないです。
わからないところや間違いがあったら言ってください。
>>97
計算の工夫はどんな単元でも心掛けましょう。
後半はその通りです。
(-2，2√3)とやらないように自分で考えるということですか？
100 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/11(日) 10:07] >>99
数学的には正しいのですが，効率のいい計算をした方がいいということです。
曲線y=f(x)=(1/2)(x^2+1) (x≧0)上を動く点Pの時刻tにおける位置を(x(t).y(t))とする。
ただしx(0)=0 y(0)=1/2とし任意のtに対してx'(t)>0とする
点Pの速度の大きさは1/√{y(t)}とする
(1)x'(t)とx(t)をもとめよ (2)tをx(t)であらわせ (3)Pが(1.1)に達する時刻を求めよ
(4)t=6√2のときPの座標を求めよ
この問題おねがいします。富山大学の問題です。
x'(t)=(d/dt)x(t)=(dx/dt)x'(t)
y'(t)=(d/dt)(1/2)(x(t)^2+1)=(dx/dt)x(t)x'(t)
x'(t)^2 +y'(t)^2=1/y(t)={(dx/dt)^2}{x'(t)^2+(x(t)^2*x'(t)^2)}
⇔2/{x(t)^2+1}={(dx/dt)^2}[x'(t)^2*{1+x(t)^2}]
⇔2/{x(t)^2+1}^2=(x'(t)^2)(dx/dt)^2
のように計算していったのですがよくわからなくなって撃沈しました。。
よろしければPDFが解説お願いできないでしょうか? テキストだと計算が汚くなってきそうなので・・
>>101
難しそうですね。
しばらくお待ちください。
>>101
計算結果を見ないで解いてみたのですが，同じような感じです。
一番最初の
> x'(t)=(d/dt)x(t)=(dx/dt)x'(t)
に出てくるdx/dtのxはx=x(t)の左辺ということでしょうか？
(一番右の式は違う気がします)
僕はx'(t)だけで考えました。
あと，問題の(1)は
x'(t)とx(t)の関係式
を求めよということではないでしょうか？
(2)が普通の感覚では逆で
x(t)をtであらわせ
ですよね。解いていくと「t=x(t)の式」となったので(2)の問題文は正しく
(1)が違うのかなって思いました。
どうでしょう？
>>101
答わかりますか？
(4)は(3，5)になりました。
きれいな結果なのでいいのかなって思ってます。
>>103
すいません。ご指摘の通りです
(1)は> x'(t)とx(t)の関係式を求めよ
が正しいです。
答えは来週の木曜日に渡されると思うのでそれまで答えがありません・・
>>105
じゃあ僕の考え方でよさそうです。
微分方程式を解くのってアリですか？
>>101 に書いたdx/dtを1にすれば僕と同じです。
2/{x(t)^2+1}^2=(x'(t)^2)
より
√2/{x(t)^2+1}=x'(t)=dx(t)/dt
ここから微分方程式を解くことになります。
(変数分離形というやつです)
>>103
>> x'(t)=(d/dt)x(t)=(dx/dt)x'(t)
>に出てくるdx/dtのxはx=x(t)の左辺ということでしょうか?
速度とは位置の時間微分なのでx'(t)=(d/dt)x(t)
ここでd/dt=(d/dx)(dx/dt)なのでx'(t)=d/dx)x(t)(dx/dt)=(dx/dt)x'(t)
と考えたんですけどいわれて気がつきました。
左のx('t)は時間微分したプライム。右のx'(t)はx微分したときのプライムですね。
ごっちゃにしていたorz
>>106
基本的には微分方程式はわからないです・・
誘導がついていれば、解くことは出来ると思います
(たとえばf'(x)=f(x)+e^x f(0)=0のときg(x)=f(x)(e^-x)を考えてf(x)を求めよみたいなタイプ)
変数分離に関しては物理の空気抵抗のところで少し解いたことがあるので
考えれば何とかなるかもしれません
>>108
(PDFでなくてもわかりそうなので，このまま書きます)
では(1)は
x'(t)=√2/{x(t)^2+1}…右辺と左辺を入れ替えただけ
でいいと思います。
(ここから微分方程式の解法です)
このまま計算してもいいのですが，
x(t)=x
として(というか元に戻して)
dx/dt=√2/{x^2+1}
とします。ここで形式的にdx/dtを分母と分子に分けて考え
{x^2+1}dx=√2dt
とします。両辺を積分した
∫{x^2+1}dx=∫√2dt+c
とここまで書いてしまう方がいいのかもしれません。
これより
(1/3)x^3+x=(√2)t+c
表記を戻し
(1/3)x(t)^3+x(t)=(√2)t+c
ですが，x(0)=0よりc=0が得られます。よって
(1/3)x(t)^3+x(t)=(√2)t
となり(2)は
t={(1/3)x(t)^3+x(t)}/√2
です。
ありがとうございます 早速みてみたいと思います
111 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/11(日) 12:22] >>110
(3)は(2)の結果よりx=1として計算し
t=(2√2)/3
(4)も(2)の結果でt=6√2として3次方程式を解き，
x=3…x(6√2)=3という意味
を得て，y=(3^2+1)/2=10/2=5
よってPの座標は
(3，5)
となります。
(3)以降は単なる計算ですね。
こんなふうに媒介変数表示に戻すみたいのは初めて見ました。
微分方程式の部分などわかりにくいところがあったら言ってください。
わかりました。再び質問できるのは夜になるかもしれませんが
何かありましたらよろしくお願いいたします
>>112
ではまた。
僕は寝てるかもしれませんが…。
あと，木曜に解答を入手したら(解説されたら)どうだったか教えてくださいね。
４ステップの82番で、｜－3｛ｐ｝＋｛a｝＋｛ｂ｝＋｛ｃ｝｜＝３となったのですが、
｜－3｛ｐ｝＋｛a｝＋｛ｂ｝＋｛ｃ｝｜の中に－をかけたら右辺は・・？
符号をどうしたらよいのでしょうか？？
あと、83番が解けません。
>>114
符号については絶対値の計算と同じです。
|-x+y|=|-(x-y)||=|-1||x-y|=|x-y|
と同じです。上の式はベクトルでも同じことが言えます。
83番はPDFで説明するので時間が掛かります。
テストは空間ベクトルまで入りそうですか？
>>114
83の説明はできました。
82はどうですか？
82解けました。
空間は入りません。平面ベクトル全部です。
>>117
そうですか。
ええと，今日だけでもいいのでトリップ付けませんか？
説明は↓
http://www.milkcafe.net/test/read.cgi/lobby/1103838497/6-8
6だけ読めばいいと思います。
僕の「fnVdQViY」みたいに個人が特定できる仕組みです。
#のうしろはどんな文字でもいいのですが，自分の名前とかはよくないかもしれません。
これで大丈夫ですよね。
120 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/11(日) 16:04] >>119
はい。ありがとうございます。
>>114 の解答です。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18702.pdf
携帯ではだめでしょうか？
122 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/11(日) 16:12] >>121
いいですよ。
120の解答が消えてしまいました！
もう一度お願いします。
>>123
同じURLで見れます。
保存しておいてください。
(保存したら書いてください)
返事が遅くなってしまって申し訳ないです。
おかげさまで前回の問題は無事に解決しました(^_^)
2005立教大
年利率が10％の１年ごとの複利法による預金を考える。
ここで,１年ごとの複利法とは,１年ごとに利息を元金に加えていく利息計算方法である。
(1)100万円を預金したとき,４年後の元利合計を求めよ。
(2)10万円を預金し,１年後に10万円を追加して預金し,２年後には1O万円を
追加して預金し,……ということを繰り返す。n年後に預金した時点での元利合計を
Snとする。Snを求めよ。
(3)100万円を預金したときのn年後の元利合計をTnとする。SnがTnより
大きくなる最小のnを求めよ。ただし,log10(1.1)=0.0414とする。
よろしくお願いしますm(_ _)m
>>125
複利法の意味はわかりますか？
(教科書に出てるかもしれません)
保存しました。
128 名前：静香 [2008/05/11(日) 16:33] >>126
なんとなくは…
教科書には毎年一定の金額を積み立てるときの計算しか
載っていなくて(>_<)
>>127
わかりました。
>>128
ではそこから説明ですね。
時間が掛かりそうなのでしばらくお待ちください。
>>129
お手数かけます。
よろしくおねがいします！
83番の2で、線分０Ａとのなす角が60°ー。の線分０Ａが、４ステップの答えだと半直線０Ａになっているのはなぜでしょうか？
私も線分０Ａだとは思うのですが。。
>>131
それはどちらでもかまいません。
>>125
解答ができました。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18703.pdf
説明のわからない部分があったら言ってください。
眠くなってきたので返信が遅くなるかもしれません。
84番今まで考えてましたができません。
お願いします。
>>134
これは重要な式です。
カッコの中にあるのは両方とも単位ベクトルというのはわかりますか？
あと，
{OA}/|{OA}|={OA’}
{OB}/|{OB}|={OB’}
として説明します。
わかります。
137 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/11(日) 18:03] >>136
これは2つのベクトルが与えられたときの，
なす角の二等分線
を表すベクトルの作り方を示しています。
(応用上利用されます)
|{OA’}|=|{OB’}|
より，△OA’B’は二等辺三角形。
よって線分A’B’の中点Mは直線l上の点。
したがって
{OM}=(1/2)({OA’}+{OB’})…中点だから
であり
{OP}=s{OM}…同一直線上の点なので
を満たす実数sが存在する。
この2式より
{OP}=(s/2)({OA’}+{OB’})
となり，s/2=tとおけば
{OP}=t({OA}/|{OA}|+{OB}/|{OB}|)
である。
先ほどの件はどうでしょう？
先ほどの件とはメールのことでしょうか？
送りましたが何も来ないのですが・・
先ほどの件とはメールのことでしょうか？
送りましたが何も来ないのですが・・
（138私です。）
137の説明はわかりました。ありがとうございます。
>>139
そうです。
僕の方に来てません。
自分で自分には送れたのでもう一回お願いします。
>>137 は理解できてよかったです。
証明よりも応用の仕方が大事です。
送りました。
でも84番の２が解けません・・
>>141
単位ベクトルは求められますか？
|{OA}|=13
より
{OA}/|{OA}|=(12/13，5/13)
です。同様に
{OB}/|{OB}|=(-3/5，4/5)
です。これを(1)の式に代入すると
x=(21/65)t，y=(77/65)t
となり，tを消去して答えが出ます。
メール来ません…もう少し待ってみます。
というか眠いのでちょっと寝ます。
>>133
遅れてしまいすみません。
(2)で、公比がなぜ1.1になるのかが分かりません。
xy平面上で原点を中心とする半径2の円をCとし直線L:ax+1-y=0との交点をP.Qとする。
(ただしaは任意の実数) また点Pにおける円Cの接線と点Qにおける円Cとの接線の交点をRとしたとき
Rの軌跡を求めよ
この問題を質問させてください。答えはy=4です。
解答では点R(X.Y)とおくとXx+Yy=4が直線Lに一致するという配列を変えて式を読む
極と極線の解答で答えてあります。これはこれで素晴らしいと思うのですがより一般性の高い
P.Qにおける接線の交点を実際に求める方針で解きたいと思っています。
点P(x1.y1) 点Q(x2.y2)としてx1.y1はax+1-y=0とx^2+y^2=4の連立解。
点Rのx座標はx1x+y1y=4とx2x+y2y=4の連立で求まるという方針もわかるのですが
いざやってみると計算が多くてうまく答えにたどり着きません。
この問題で計算をうまくさばく方法ってないでしょうか?
1996広島修道大
ある銀行にp円のお金をn年間預けると,その元利合計(n年後に銀行から
預金者に支払われる金額)はp(1+r)^n円になる(r>0)。このとき,次の問いに答えよ。
ただし,この銀行は毎年4月1日には営業し,預金の元利合計は1年以上たつと
希望すれば各年の4月1日に受け取ること(解約)ができるものとする。更に,nは自然数とする。
(1)この銀行に毎年4月1日にM円ずつn回にわたってお金を預け,
途中解約しないでn年後の4月1日にすべて解約すると,いくらのお金を支払ってもらえるか。
(2)この銀行にQ円のお金をn年間預けると,その元利合計が(1)で求めた金額に
等しくなるという。QをM,n,rの式で表せ。
(3)今年の4月1日にM円,来年の4月1日にM+m円,再来年の4月1日に
M+2m円というように,毎年4月1日に前年よりm円ずつ増額して預金を
していくことにする。途中解約することなくn回続けて預金をするとき,
n年後の4月1日に銀行から受け取ることができる金額をM,m,n,rの式で表せ。
これも先ほどの問題の類題だと思うのですが、(1)は4月1日に
解約しているので利率がかわりますよね??
どう考えたらいいのでしょうか(--;)
教科書のｐ47をやりはじめました。
問題11なのですが、一応解けたのですが、後ろの解答を見ると違うやり方で｛PQ｝＝3／10（5｛ｃ｝－3｛ｂ｝）｛PR｝＝2／15（5｛ｃ｝-3｛ｂ｝）とありますがこれはどこから出てくるのでしょうか？
教えてください。
問題12がわかりません。
メール届いてませんか？
ちゃんと送信はできているのですが。
おはようございます。
>>143
n年後を右から足していくと公比が1.1になるのですが…どうでしょう？
>>144-146
しばらくお待ちください。
(また寝ちゃうかもしれません)
>>147
おかしいですね。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18706.pdf
↑見たら言ってください。
返事遅れてすいません！！
ありがとうございました！！！
とってもわかりやすかったです！
「６」すいません。抜けていました！
Ｑ（ｘ）＝ｘ^３＋ｑｘ＋ｐ でした
＜たぶん間違っていらっしゃるところ＞
「２」の ２α^３ー３α^２＋４αー５を α^２ー２αー６で割った商は
２α＋１で、あまりが １８α＋１なんじゃないかと思います。
「４」の aｘ^３＋ｂｘ^２ー４ｘー３を ｘ^２ー２ｘー１
で割ったあまりは、ｘ（-3a-2b-4）-2a-b-3 だと思うんですが‥
間違ってたらすいません、解説をお願いします！！！！！
>>149
間違い疑惑すみません…。
眠いので解くのは夜中以降ということで…。
(他の方の質問もあるので)
6のQ(x)は，実はその式でないかと考えて解いたのですが
うまくいきませんでした。p=qになり，p=0のときq=0になるので
P(x)=Q(x)=x^3になってしまいました。
というわけで再検討は寝て起きてからにしますね。
>>143
解決しました(^^;)
簡単なことでしたね。
mが任意の実数のとき
|2m|<√(1+m^2) ・・・・・(1)
という不等式を解きたいのですけれども、この(1)は
4m^2 <1+m^2
と二乗してしまっても問題ないでしょうか?
a>0のとき
b<√a ⇔ 「b^2<aかつb≧0」またはb<0を用いました。
|2m|は自動的に>0なので、|2m|<√(1+m^2)⇔4m^2<1+m^2
としたのですが・・・
順番が前後してしまいますが…
>>152
問題ありません。
そこまで理解しているなら大丈夫ですよ。
怪しいと思ったらグラフを描いてみるといいでしょう。
(y=左辺とy=右辺を比べるということです)
ありがとうございます。ルートや絶対値や分数は
同値性が絡んできて議論がうるさいので中々苦手です。。
朝のうちにもう一題ときたかったのですがタイムアップか・・
>>154
そういうのが出てこない解法を選ぶというのもありですが，
そうもいかないかもしれませんね。
(今回の式は点と直線の距離っぽいですね)
>>144
こんなふうに解いてみました
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18712.pdf
PとQの座標は具体的には求めずに，Rの座標を求めます。
思っていたよりは短い計算ですみましたが，極線の考え方を
利用した方が楽ですね。
初めはベクトルの利用を考えていたのですが，直接解きました。
おはようございます。
今日は私の学校だけ休みみたいです(^_^)
ある行事が先日あったので。
146お願いします。
メールはやっぱり時間がかかるんですかね・・
>>157
おはようございます。
>>148 は見ましたか？
>>146
問題11は
{AP}=(2/5){b}，{AR}=(2/3){c}，{AQ}=(3{c}-{b})/2…これは外分の位置ベクトル
としてから計算しています({PQ}={AQ}-{AP})など。
問題12は前半が教科書p35応用例題4，後半は4STEPの51(2)で説明した変形を利用します。
148見ました。
161 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/12(月) 10:38] >>160
では，そちらに送ってください。
すみません。148もう一度表示してください。
163 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/12(月) 10:42] >>162
消すの速すぎましたね…
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18713.pdf
送りました。
問題やってみます。
>>145
解答です
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18714.pdf
前回(>>125)のあとに書きました。3～4ページ目です。
(3)の説明が長くて驚くかもしれません。わからない部分があったら言ってください。
(もし消えていたらアップロードし直します)
>>149
解答です。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18715.pdf
2は計算間違えてましたね，すみません。
他の問題の式を写しちゃっていたのかもしれません。
4は合ってると思います。
2と4は除法の計算(縦書きの計算)を追加したので検討してください。
6も解答を作りました。そのQ(x)でうまくいきますね。
全部で3ページあります。
>>156
PDF読ませていただきました。接線の方程式にy1やy2をかけてyを直接消すところや
直線Lにx1.x2かける所などはとても参考になりました。
もう1点正領域不領域について教えてください
直線y=2px+1+p^2 (pは定数)が|p|≦1を動くとき、直線の取りうる範囲を求めよ
という大学への数学4月号の日日の演習に載っている問題をこう言い換えて解こうと思いました
直線y=2px+1+p^2 (pは定数)が|p|≦1を動くときの直線の通過範囲
⇔pの2次方程式 f(p)=p^2+2px+(1-y)=0が-1≦p≦1に解を持つときのx.yの範囲
⇔-1≦p≦1においてf(p)の最大値M≧0かつ最小値m≦0となる(x.y)の集合
そこでM.mの候補を探すとf(1)=2-2x-y f(-1)=2+2x-y f8-x)=-x^2+1-y (ただし-1≦x≦1)であり
結局f(-1)f(1)f(-x)の値が負となるような負領域をxy平面上に図示すればよい
と考え、f(-1)=0とf(1)=0とf(-x)=0 (-1≦x≦1)の境界を書きマイナスになる部分を考えたところで解答とあいませんでした・・
f(-1)<0となるのは2+2x-y=0の上側、f(1)<0となるのは2-2x-y=0の上側
f(-x)<0となるのは同じく-x^2+1-yの上側 (-1≦x≦1)と考えて三つの領域を合体させると
-1≦x≦0で2-2x-y=0より下側で2+2x-y=0より上側の領域がプラスになって除外
0≦x≦1で2-2x-y=0より上側で2+2x-y=0より下側の領域がプラスになって除外
2+2x-yより上で2-2x-yより上側の角ばった部分がマイナスになり色を塗る・・
という解答が出来てしまったのですが、これは解答より間違いです。。
ただどこが間違っているのかわからないので指摘していただけないでしょうか?
>>168
> 直線y=2px+1+p^2 (pは定数)が|p|≦1を動くとき、直線の取りうる範囲を求めよ
> という大学への数学4月号の日日の演習に載っている問題をこう言い換えて解こうと思いました
大学への数学，持ってます。
> 直線y=2px+1+p^2 (pは定数)が|p|≦1を動くときの直線の通過範囲
> ⇔pの2次方程式 f(p)=p^2+2px+(1-y)=0が-1≦p≦1に解を持つときのx.yの範囲
> ⇔-1≦p≦1においてf(p)の最大値M≧0かつ最小値m≦0となる(x.y)の集合
ここまではいいはずです。
解の配置問題ですよね。
> そこでM.mの候補を探すとf(1)=2-2x-y f(-1)=2+2x-y f8-x)=-x^2+1-y (ただし-1≦x≦1)であり
> 結局f(-1)f(1)f(-x)の値が負となるような負領域をxy平面上に図示すればよい
f(-1)>0，f(-x)<0，f(1)<0でもいいですよね。
-1≦p≦1において実数解が1つまたは2つになる領域を求めればいいわけです。
って書いたらよくないって解答の冒頭に出てますね(笑)
ああ・・ほんとうだ・・
f(-1)>0，f(-x)<0，f(1)<0でもいいですね・・・
となると、正領域負領域で処理するときは
-1≦x≦1において場合わけが必要になりそうですね。。
結構うまく考えたと思ったのにorz
>>165
(3)で、左辺がS-(1/1+r)×S になるところがわかりません。
>>171
右辺はいいですか？
左辺は…(1+r)^{-1}=1/(1+r)だから…ということを聞いているのではないですか？
>>172
右辺はなんとか(^^;)
そうです！そこです。
>>173
解決したということでしょうか？
>>174
Sの式と(1+r)^{-1}Sの式を縦に並べているところは、
辺々を引けばいいのですか??
>>175
そうです。
方程式のようにSを求めます。
>>176
最後までいきました！
回答はこれに単位をつけたものですか??
>>177
単位はどうですかね？
本質的な部分でないのでなくてもいい気がします。
>>178
分かりました！
もう一つ分からない問題があるのですが…
2000三重大
座標平面上で2(log3(x)-1)≦log3(y)-1≦log3(x/3)+log3(2-x)を
満たす点(x,y)全体の作る領域をDとする。
(1)で領域を図示していて、0<x<2,y>0 y≧x^2/3 y≦-(x-1)^2+1
で、境界線は原点以外は含んでいます。
(2)a<2の範囲にある定数aに対し,y-axのD上での最大値M(a)を求めよ。
回答には↓
y-ax=kとおくと,y=ax+k
よって,直線l:y=axと領域Dが共有点をもつときのkの最大値を求めればよい。
直線lと放物線y=-(x-1)^2+1が,点(3/2,3/4)で接するとき,
ax+k=-(x-1)^2+1 すなわち x^2+(a-2)x+k=0 と,
(x-3/2)^2=0 すなわち x^2-3x+9/4=0が一致すればよい。
……
とあるのですが(x-3/2)^2=0は一体何の式でしょうか？
>>179
すみません，眠いのでちょっと寝ます…。
今の状態では考えてもわかりません(←ちょっと粘ったんですよ)。
起きても解決してなかったら答えます。
>>180
はい(^^)
よろしくおねがいします。
>>180
参考までに、続きの回答を書いておきます。
(>>179)よって、a=-1
また,直線lと放物線y=-(x-1)^2+1が,点(0,0)で接するとき,x^2=Oと
x^2+(a-2)x+k=0 が一致すればよい。よってa=2
ゆえに,図から
［1］a<-1のとき
(x,y)=(3/2,3/4)でkが最大になる。よってk=3/4-(3/2)a
※ここも、なぜ接するときが最大ではないのか分かりません。
［2］-1<a≦2のとき
直線y=ax+kが放物線y=-(x-1)^2+1と接するときに,kが最大となる。
ゆえに、k=(1/4)a^2-a+1
おはようございます。
>>179
の後半に書いてあるのは直線と放物線が接するときのaの値を効率よく求める方法です。
接するというのは接線になるという意味です。単に(3/2，3/4)を通るだけではないです。
なぜそんなことを考えるのかというと，
・領域Dでkが最大になるのはこの点を通るとき(接するに限らず)
・そのうちk(y切片)が最小になるのはこの点で接するとき
よって接する条件を求めておく…というわけです。
接する条件を求めるのは普通は判別式ですが，2次方程式
x^2+(a-2)x+k=0
の解が重解でx=3/2(←接点のx座標)になればいいわけです。
そういう2次方程式のうち，x^2の係数が1なので
(x-3/2)^2=0
ですよね。ですからこれを展開して係数を比較するわけです。
>>182
領域Dでkが最大になるのは上側の放物線y=-(x-1)^2+1と接するときです。
正確には接するまたは(x,y)=(3/2,3/4)を通るときです。
下側と接するときだと切片が負(正確には0もアリ)になりますよね？
だから上の放物線のみを相手にしています。
[1]は>>183 に書いたとおり，(x,y)=(3/2,3/4)を通るときkが最大。
そのkが一番小さいのはこの点で直線が接するとき。aがもっと小さくなると
傾きがきつくなり切片が上に行きます。
[2]は「-1≦a<2」ですかね。問題文からして。
こちらは接する(接線になる)場合です。判別式を計算してますよね。
この問題はaが入っているのでkだけでなくaも相手にしなければならないのが難しいですね。
律儀に回答してる人はお疲れさまとしか言いようがないが、
傍目に見てる分には、>>179の問題は>>179の人には難しすぎると思う。
問題と質問の内容がかけ離れすぎている。
もう少し基本的なことから固めていった方がいいよ>>179
大阪大学99年度文系の問題です
放物線C;y=x^2/2上の原点以外の点PにおけるCの接線をL1としPを通り
L1と直行する直線をL2とする。またL2とCが再び交わる点をQとしQにおけるCの接線をL3
更にL1とL3との交点をRとする。
(1)R(x.y)についてyをxの式で表せ
(2)PR≧PQとなるpのx座標の範囲を求めよ
この問題で数式中心で処理する方法はわかるのですが図形的性質を利用した解法はないか?と考えています。
具体的にはP(p.p^2/2)Q(q.q^2/q)とおくとR((p+q)/2.pq/2)とかけますしPQの中点をMとすれば
MはRの真上に来る という性質を全面に出してみたいと考えています。
(1)はへPでの法線がQを通るので、(ptq)/2=-1/pという関係式をえて、そこからq=-p-p/2なので
y=pq/2をxであらわすことにしたのですが、(2)でこの定性的な条件達をどう遣えばいいのか悩んでいます。
よろしければこの性質を利用した面白い解法を教えていただけないでしょうか?
>>185
たぶん静香さんは>>10 さんで，そうなら学校のプリントです。
おっしゃるとおり，現状に対して難しい問題を質問されていますが，
プリントには易しい問題(>>6 や>>125 など)も出ているようなので
まずはプリントの易しい問題を確実に身につけるのがいいのでは
ないかと思っています。
学校や予備校・塾の教材が自分のレベルに合ってないということは
よくあると思うのですが，このプリントは「易→難」の順に配列
されていて，クラスの教材としていいできなのかもしれません。
>>186
中点Mが真上に来るというのを利用する方法は思いつきませんでした。
中線定理かなと考えたのですが…。
近い(？)解法で解いてみたのですが，以下のようになりました(略解です)。
三平方の定理より
PQ^2+PR^2=QR^2→移項してPQ^2=QR^2-PR^2
示すべき不等式は2乗してよく
PR^2≧PQ^2=QR^2-PR^2
よって
2PR^2≧QR^2…★
P，Q，Rの座標は>>186 にあるとおりとし，
RP↑=((p-q)/2，p(p-q)/2)
RQ↑=(-(p-q)/2，-q(p-q)/2)
ここでα=(p-q)/2とおくと★は
2(α^2+p^2α^2)≧α^2+q^2α^2
α>0より式を整理して
1+2p^2-q^2≧0
>>186 と同様に考え，q=-(p+2/p)を代入してpに関する4次方程式を解くと
p≦-2，p≧2
を得る。
>>184
回答ありがとうございました！解決しました。
>>185
そうですよね…
なんだか簡単なことを理解できなくて
回答してくださる方に申し訳ないです…。
(>>187)さんのおっしゃる通り、学校の課題なのですが
一年の頃からこのような問題しか解いてこなかったために
基礎がないのです(^_^;)
基礎固めをがんばろうと思います。
>>189
> 一年の頃からこのような問題しか解いてこなかったために
というのは学校のレベルが高めですか？
そうなら大変だったんでしょうね。
解説した問題は理解できているようなので，苦手と言うほどでもないと思っています。
受験に使うのでしょうから学校の授業以外の勉強についても具体的に考える必要が
あるかもしれませんね。
>>190
覚えていないかもしれませんが、実は私は
以前こちらでお世話になったことがあります。
「精説」を使っている者です(^^;)笑
自分的には苦手意識があります。
青チャートもろくに解けないと思います…
受験は私大専願なので使わないといえば
使わないのですが、センターレベルを完璧にできれば
センター併用も考えています。
>>188
ありがとうございます。早速今から読ませていただきます。
座標平面の問題でもう一題ヒントを頂きたいものがあります。
名古屋大学後期情報文化00年の問題です。
xy平面上の2点 A（－1,2）,B（2,5）を通る放物線y＝ax^2+bx+cをすべて考えるとき、
どの放物線も通らない点の集合を求めよ。
という問題です。以下のように考えました
条件より放物線がA.Bを通るのでb=1-a、c=3-2a
これを代入して放物線はy=a(x-2)(x+1)+x+3・・・①
①⇔(x-2)(x+1)a+(x-y+3)=0・・・①'
なので、「aの方程式①'が解を持たない」・・・(*)
ようなx.yの集合を求めればよい。
問題文で放物線とあるのでa≠0でありこの元で
(*)⇔(x-2)(x+1)=0かつ(x-y+3)≠0⇔「x=2かつx-y+3≠0」o「x=-1かつx-y+3≠0」
と解いたのですが、①においてxを固定して解くとy=x+3とx=2とx=-1から(-1.2).(2.5)
を除いた部分が答えになるんですよ。
何が間違っていてどう訂正したらよいのか教えていただけないでしょうか?
お願いします
>>188
一つ質問があります。
α=(p-q)/2 >0の">0"はどのようにしていえますでしょうか?
すいません。また、質問いいですか？
１，a+b+c=0 の時、次の式の値を求めよ。
1 1 1 1 1 1
ｐ＝ａ〔 ー ＋ ー 〕+ b〔ー ＋ ー 〕+ c 〔- + - 〕
ｂ c c a a b
（２） a^2+b^2+c^2 2 1 1 1
Ｑ＝ ------------ + -〔- + - + - 〕
a^3+b^3+c^3 3 a b c
２，次の条件（Ａ）、（Ｂ）を同時に満たす５次式ｆ（ｘ）を求めよ
（Ａ）ｆ（ｘ）＋８ は （ｘ＋１）^３ で割り切れる
（Ｂ）ｆ（Ｘ）ー８ は （ｘ－１）^３で割り切れる
３，次の問に答えよ
（１）ｘの整式Ｐ（ｘ）をｘ－３で割ったあまりは２，
（ｘ－２）^２ で割ったあまりはｘ＋１である。
Ｐ（ｘ）を(x-2)^２で割った商をＱ（ｘ）とするとき
Ｑ（ｘ）をｘ－３で割った余りを求めよ
（２）Ｐ（ｘ）は（２）と同じ条件を満たすものとする。このとき
ｘＰ（ｘ）を(x-3)(x-2)^2で割った余りを求めよ。
４，異なる４コの品物を３人に分配する方法は、
なにももらわない人がいてもよいとすると何通りあるか
５，６コの数字 ０，２，４，５，７，８
を用いて５桁の整数を作るとき４の倍数は何個出来るか
６，七人の生徒を２つのグループに分ける方法は何通りあるか。
ただし、誰もいないグループは認めない
７，MOZART の６文字全部を使って出来る順列を
アルファベット順に辞書式で配列するとき
（１）ＭＯＺＡＲＴ は何番目の文字か
（２）３００番目の文字列は何か
８，正六角形に中心を通る対角線を引いて、６この正三角形にわける
これら６コの正三角形を５種類の色を全部用いて塗り分けたい。
塗り方は全部で何通りあるか。ただし、表だけに色を塗り
回転して一致するものは同じ塗り方とする。更に、辺を共有する
三角形には違う色を塗るものとする。
９，７人がＡ，Ｂ，Ｃの３部屋にはいるとき次の入り方は何通り？
（１）空室があってもよい場合
（２）空室がない場合
１０， ０，１，２，３，４，５，の６コの数字から重複を許して
４つをとって並べて四桁の整数を作るとき、４でも５でも
割り切れないものはいくつ出来るか
１１，立方体の各頂点にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ
の名前を付ける
回転によって重なるものは区別せず、名前の付け方は何通りあるか
１２，次の計算をせよ
（１） ｘ＋１ x+2 ｘ－４ x-5
------ ー ---- ー ------ + ------
ｘ X+1 x - 3 x-4
（２） 1 1 1
-------- + -------- + ----------
(x-1)x x(x+1) (x+1)(x-2)
（３） 2 2 2
---------- + ----------- + -----------
(a-1)(a+1) (a+1)(a+3) (a+3)(a+5)
問題は以上です。たくさんあってすいません！！！
>>191
おお！精説の方でしたか！覚えてますよ。
青チャートがちゃんと解けたら実力者ですよ。
センター試験は結構難しい問題も出るので，学校のプリントはちょうど
いいのかもしれません。
ネタ切れになってきたからか，教科書をちゃんと理解しておくことが
必要です。
この前の数列のS-rSの問題は出てない気がするので，解いておいて
よかった気がします。
>>193
すみません，間違いです。かってにp>qだと思ってました。
(答を見てそこだけ直しました)
でも「≠」にしておけばその後の計算には影響ないですよね。
>>192 はしばらくお待ちください。
>>194-195
解答はありますか？(数値・式だけの)
あと，前回の分はわかりましたか？
(間違い疑惑はどうだったのでしょう？)
>>192
> なので、「aの方程式①'が解を持たない」・・・(*)
かつ「解が0でない」
です。
意味的に考えて
直線AB
Aを通りy軸に平行な直線
Bを通りy軸に平行な直線
は通らない…というのを式で示す問題ですね。
>>188 は4次不等式でしたね(方程式でなく)。
(p>qだと勝手に思い，解答を見る前は一番最後のp≦-2を消してしまってました)
>>194-195
急ぎで途中まで作りました。1，4，6，9，11，12です。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18744.pdf
今日は用事があるので夜まで返信できなそうです。
12(2)は問題が間違っている気がします。一番最後の(x-2)は(x+2)のはず…。
(x+2)だとして解答を作りました。PDFにも書いてあります。
１２（２）は ご指摘の通りです。（ｘ＋２でした。すいません）
間違い疑惑も、名無しさんの通りでした。すいません！
それにしても、名無しさんすごすぎですね！！
またまた追加します。本当にごめんなさい。
１，ある高等学校の一年生全員が長いすに座るのに、１脚に
６人ずつ座って行くと１５人が座れないので、１脚に７人ずつ
座っていくと使わない長いすが３脚出来る。長いすの数は何脚
以上、何脚以下か。
>>198
もうしわけありません。
「解が0でない」ということがイメージできません・・
どういう感じで捉えればよいでしょうか?
すいません「名無しさん」
緊急なんで、せめて＞＞２００だけでいいのでお願いします。
ああ、ひょっとしてこんなイメージでしょうか?
①'の解が存在しない→w=(x-2)(x+1)a+(x-y+3)がw軸に平行
①'の解がa=0→問題文よりa≠0なので不適→原点を通る傾き(x-2)(x-1)≠0の直線が出来るときで
x-y+3=0かつx≠2かつx≠-1
う・・ん?
>>200
僕は名無し(191)さんとは別人ですが
長いすの数をx脚、一年生の人数をyとおくと
「６人ずつ座って行くと１５人が座れない」ので
6人×x脚+15人=y人、つまり6x+15=y
また「１脚に７人ずつ座っていくと使わない長いすが３脚」できるとき
1脚目からx-4脚目までは7人びっしり座り、最後のx-3脚目に座っている人数は1人以上7人以下の人数である。
x-3脚に座ってる人数が7人なら、7(x-3)=y⇔7x-21=y
x-3脚目に座ってる人が1人だけなら7(x-4)+1=y⇔7x-27=y
よって、7x-27≦y≦7x-21
6x+15=yと7x-27≦y≦7x-21から答えが得られます
>>200
おはようございます。寝てました。
長いすの脚数をx
とします。
初めの条件より生徒の人数は
6x+15
です。
あとの条件から
生徒の人数が最小の場合 7(x-3)…☆
生徒の人数が最大の場合 7(x-3)+6…★
よって
7(x-3)≦6x+15≦7(x-3)+6
となります。
7(x-3)≦6x+15 より x≦36
6x+15≦7(x-3)+6 より 30≦x
したがって
30≦x≦36 つまり 30脚以上36脚以下
です。
☆はx-3脚の長いすに全員が座れた場合
★はx-3脚の長いすに生徒が座り，もう1脚の長いすに6人座った場合
です。★で7人座ると使わない長いすが2脚になってしまうのでこうなります。
答はないんでしょうか？
>>204
すみません，その通りです。
>>205 は間違ってます…。
答えは‥ないんです‥。すいません！！！
208 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/14(水) 23:53] >>203
2点AとBを通る放物線は無限にありますが，
a→±∞のとき
Aを通りy軸に平行な直線とBを通りy軸に平行な直線
a=0のとき 直線AB
になります。
パソコン用のソフトでaが変化したときの放物線の様子が
見られるものがありますが，そういう操作はできますか？
以前塾の生徒にこれと全く同じ問題を質問され，そのときに
グラフを見せていたようです。
>>207
この課題(？)の締め切りはいつですか？
>>208
グラフソフトは残念ながら何も入っておりません。。
「aの方程式①'が解を持たない」かつ「解が0でない」
ってところの「解が0でない」の部分がどうしても・・
もう少し考えて見ます。放物線で考えればすぐわかるんですが方程式に摩り替えると
わからなくなるのはちょっと困りますし。
>>210
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
を使うと放物線がどうなるかがよくわかります。
インストールしていいのなら，このソフト用のファイル(テキストファイル)を送ります。
> ってところの「解が0でない」の部分がどうしても・・
は問題文よりa≠0でいいんですよ。
久しぶりに来てみたけど、結局名無しさんは１９１ってコテハンにしたんですね。
前スレであなたにどんな名前がいいかと聞かれたので、提案してあげたのに
それについては何も触れず、結局自分で決定しちゃうって、失礼にもほどがあるだろ
なら最初から人にきくなってんだよね
214 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/15(木) 07:39] >>194-195
5，7，10を追加しました。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18776.pdf
締め切りがわからないのでどのくらい急げばいいかわかりません。
>>194-195
2以外が完成しました。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18779.pdf
変なところで改ページしていますが気にしないでください。
2は難しいです。
面倒な解法と発想の難しい解法で解けました。
PDFを作るのはちょっと大変そうです。
見たことのある問題ですが，家の本を探しても見つかりませんでした。
>>194-195
解答が完成しました。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18783.pdf
遅いかもしれませんが，2の解答を2つ書きました。
>>101の問題の解答を頂きました
(4)(3.5)、(3)t=2√2/3ということで(191)さんの方針求値でばっちりでした。
ありがとうございました！！
間に合いました！！！
２問教えてください。明日の（５月１６日）夜くらいで。
１，大きさがたがいに異なる９コの球があり、そのうち赤球は４コ
青球が３こ、白球が２コである。この９コから四コをとるとき
次のような取り方は何通りあるか。
（１）取り方の総数
（２）赤球、青球を二個ずつとる
（３）どの球もふくまれているような取り方
（４）一番大きい球は取り出すが、
一番小さい球は取り出さないような取り方
２，１から１３までの整数から異なる３コの整数を選ぶとき
（１）最大の整数が１１以上である選び方は何通りか
（２）三個の整数の和が偶数となる選び方は何通りあるか
お願いします！！
>>218
これは何の問題ですか？
前回の問題は難易度に幅があったので不思議な感じがしました。
1
(1)
これは9C4=126通りです。
この問題も聞くということはCの計算方法の説明も必要なのでしょうか？
(2)
赤玉を4個の中から2個，青玉を3個の中から1個取り出すので
4C2×3C1=6×3=18通り
掛け算になるのは積の法則です。わからなければ聞いてください。
(3)
「どの色も」ですよね？
赤だけ2個，青だけ2個，白だけ2個の場合を足します(和の法則)。
4C2×3C1×2C1+4C1×3C2×2C1+4C1×3C1×2C2
6×3×2+4×3×2+4×3×1=36+24+12=72通り
(4)
一番大きい球は取り出すのが確定しているので，あと2個を決める。
一番小さい球は取り出さないので候補は7個。よって
7C2=21通り
2
(1)
11以上の数を少なくとも1つ選ぶ方法なので余事象を利用します。つまり
すべての取り出し方から3つとも10以下の場合を引きます。
13C3-10C3=286-120=166通り
(2)
「奇数2個，偶数1個」の場合と「3つとも偶数」の場合を足します。
奇数は7個，偶数は6個あるので，
7C2×6C1+6C3=21×6+20=144通り
>>217
あれで正しかったんですね，よかったです。
報告ありがとうございました。
∫1/cosxdxの積分を∫1/sinx dx=(1/2)log{(1-cosx)/(1+cosx)}
から導きたいのですがどうしたらいいでしょぅか?
>>221
sin(π/2 - x)=cos x
を利用します。1次関数 π/2 - x との合成関数なので-1倍するのを忘れずに。
(細かくいうと1/(-1)倍でしょうか…)
[(1/2)log{(1-cosx)/(1+cosx)}]'= 1/sinx
なので、余角の公式を使うと
[(1/2)log{(1-sinx)/(1+sinx)}]'={(1/2)log(1-sinx)-(1/2)log(1+sinx)}'
=(1/2)[{-cosx/(1-sinx)}-{cosx/(1+sinx)}]
=-1/cosx
だから、∫dx/cosx=(1/2)log{{(1-sinx)/(1+sinx)}(^-1)}+c
=(1/2)log|1+sinx/1-sinx|+cでよいでしょうか?
積分は結構難しいですね。
>>223
同じことになりますが，例えば
(2x+1)^2
の積分は
(1/2)(1/3)(2x+1)^3
になるので
∫1/cosxdx=∫1/sin(π/2 -x) dx=(1/(-1))(1/2)log{(1-cos(π/2 -x))/(1+cos(π/2 -x))}
(以下省略)
となる…という意味です。
計算は正しいです。
>>224
ありがとうございます。今日はお休みなので積分の計算を徹底して勉強していますが
置換積分の定石とか、半角の公式とか和積でまとめて、とか色々なパターンがあって難しいですね。
微分はほとんど一本道だったのに・・
>>225
積分の計算方法を見抜くのは難しいですね。いろんな計算方法がありますからね。
合成関数の微分がうまくできると，積分もうまくできる…と思っています。
∫(1/x)(log x)^2 dx=∫(log x)^2(log x)’dx=(1/3)(log x)^3 + C
こういうのを置換せずに計算するのが大事ですね。
150問ほど積分計算の勉強してみたんですけど
∫[θ=0→θ=π/2]sinθ/(sinθ+cosθ) dθみたいな積分や
∫[x=-1→x=1]x^2/(e^x+1) dxみたいな積分とか∫e^(ax)sinbx dxの積分なんかは
定石で処理するんじゃなくてペアであるcosx/(sinx+cosx)やe^(ax)cosbxを持ち出してみたり
積分区間を-1→0と0→1に分割して考えてみたりちょっと技巧的ですね・・・
こういう技巧的な積分ってのは出会っていったものを一つ一つつぶすくらいしかないんでしょうか?
どうも何かしらの対称性をもった積分計算は置換をするにせよそのまま計算するにせよ
テクニカルな解法を取っていることが目立ちます。。
あと、部分分数分解をするときにすばやく計算する方法ってないでしょうか?
∫dx/{(2x-1)(x-1)}=∫{(1/(x-1))-(2/(2x-1))}dx みたいに分けるのに
a.bとおいて通分した後係数比較しているのですが、もう少しスマートにぱっと分けられないかなぁ
と思ってます。。
>>227
> ∫[θ=0→θ=π/2]sinθ/(sinθ+cosθ) dθみたいな積分や
> ∫[x=-1→x=1]x^2/(e^x+1) dxみたいな積分とか∫e^(ax)sinbx dxの積分なんかは
> 定石で処理するんじゃなくてペアであるcosx/(sinx+cosx)やe^(ax)cosbxを持ち出してみたり
> 積分区間を-1→0と0→1に分割して考えてみたりちょっと技巧的ですね・・・
>
> こういう技巧的な積分ってのは出会っていったものを一つ一つつぶすくらいしかないんでしょうか?
僕の感覚では，その中では
・∫e^(ax)sinbx dxは(ペアの利用が)普通。計算問題以外でもよく出会う。
・∫[θ=0→θ=π/2]sinθ/(sinθ+cosθ) dθも知っておくべき。計算問題以外ではほとんど出会わない。
・∫[x=-1→x=1]x^2/(e^x+1) dxは技巧的。計算問題以外では出会わない。
です。
>>228
> あと、部分分数分解をするときにすばやく計算する方法ってないでしょうか?
なさそうです。地道に計算…と思ったのですが，
> ∫dx/{(2x-1)(x-1)}=∫{(1/(x-1))-(2/(2x-1))}dx みたいに分けるのに
これの場合は
∫dx/{(2x-1)(x-1)=(1/2)∫dx/{(x-1/2)(x-1)}
として
1/{(x-a)(x-b)}
の部分分数分解に当てはめるのもアリかなと思いました。
でもまあ，地道に計算ですかね。
>>229
早速でてきました。∫e^(ax)sinbx dxの問題。
Σ(n=1→∞)∫[x=(n-1)π→x=nπ]e^(-x)|sin2x|dxを求めよって奴です。
結構皆さん良く出る積分なんですね・・・
∫1/(e^x+1) dxを求めよという計算問題で
解答では∫(e^x+1-e^x)/(e^x+1) dx =∫(1-e^x/(1+e^x))dx=x-log(e^x+1)+C
と出しているのですが、これは分子分母にe^-xかけてはだめでしょうか?
∫(e^-x)/(e^-x +1) dx=-log(1+e^-x)+C としたのですが・・・
>>230
それは非常によく見かける問題ですね。
>>231
e^(-x)を分母と分子に掛けた方がうまい解き方で，それを解説している本もありますよ。
積分の問題は自分の答と解答と式の形が違う場合，同じなのかを確認すると勉強になります。
ありがとうございます。
>自分の答と解答と式の形が違う場合，同じなのかを確認する
これはよく確かにんですよね・・
∫dx/sinx=log|tanx/2|+Cとなっていたり、(1/2)log|(1-cosx)/(1+cosx)|+Cとなっていたり
バラバラなので、時々混乱します。さすがに理系の数学の頻出分野だけあって
考え方そのものよりも計算過程の敷居が高く感じます
>>233
解答を全部載せるのは大変なんでしょうね。
>>230 の問題(の解説)に減衰曲線という言葉は出てきましたか？
グラフを描いたとき，各山の面積が等比数列になるのですがわかりますか？
でてきませんね。頻出問題とだけ書かれています。
グラフの外形はわからないですが、式から公比e^-π上の等比数列になってますから
なんらかの形で面積がe^^π倍されていくんだろうなということは想像はできます。
>>235
「減衰曲線」で検索するとグラフが出ていると思います。
意味的には
y=e^(-x)はy=e^(-x)|sin 2x|より上
|sin 2x|=1となるとき，y=e^(-x)とy=e^(-x)|sin 2x|は接する
ということで，y=e^(-x)|sin 2x|のグラフは
減少していく曲線y=e^(-x)とx軸の間を(|sin 2x|しているので)波打つ曲線
と言えます。
等比数列になるのはグラフの概形がわからないと想像つきませんが，
|sin 2x|の周期がπ/2であることに注意し，
各山の底辺が等しい
f(x+π/2)=e^(-π/2)f(x)
なので，隣の山と比べ，π/2ずれた位置はすべて高さが(-π/2)倍
よって面積も(-π/2)倍となるんです。
区分求積の考え方でもいいし，定積分を計算してもいいです。
関数の積のグラフってのがどうもぴんとこないです
e^-x*sinxとかはy=e^-xとy=e^xをくさびにしてsinのグラフを間に描いて
こんな感じ・・・ってなってますが一般の場合に成り立つようなものではないですよね?
>>237
> 関数の積のグラフってのがどうもぴんとこないです
> e^-x*sinxとかはy=e^-xとy=e^xをくさびにしてsinのグラフを間に描いて
> こんな感じ・・・ってなってますが一般の場合に成り立つようなものではないですよね?
説明不足でしたね。
0≦|sin 2x|≦1
だからy=f(x)のグラフはx軸とy=e^(-x)の間になるわけです。
>>237
書き忘れ…
一般の場合には成り立ちません。
積のグラフはなかなか想像つきませんよね。
>0≦|sin 2x|≦1
だからy=f(x)のグラフはx軸とy=e^(-x)の間
なるほど・・言われて見れば理解できます
>>240
面積が等比数列になるのもわかりますか？
ここまで理解しておきたい問題です。
(計算は大丈夫だと思うので)
0≦x≦π/2なるxをとるとすると、
0～π/2までの面積をa1・π/2～πまでの面積a2を比較したときに
a1とa2は横幅はどちらもπ/2なのに対して高さ(?)のようなものが
e^-x→e^-(x+π/2)=(e^-x)×e^(-π/2)になるので面積もe^(-π/2)の等比になるのかなぁ?
と思いましたが、e-^πになるんですね・・・ その辺が不思議です
>>242
> e^-x→e^-(x+π/2)=(e^-x)×e^(-π/2)になるので面積もe^(-π/2)の等比になるのかなぁ?
> と思いましたが、e-^πになるんですね・・・ その辺が不思議です
あれ？
>>236 に書いたように
> よって面積も(-π/2)倍となるんです。
ではないですか？
ああ、勘違いをしていました
>>230とその解答は(n-1)π→nπとπの周期を一つとってそれをsnのように考えているから
お山二つ分の面積を束ねて公比e^-πと考えているんだ。。
だから、お山一つずつに着目したらe^-(π/2)倍でいいんですね。
>>244
書いてから問題の式のことを思い出しました。
そこまでわかれば十分だと思いますよ。
あとは漸化式を立てて解くらしい問題が残ってますが
一日でおおよその積分の計算の全体像が把握できました。
もう3回位繰り返していけば結構いい感じで積分がスタートできそうです。
>>246
積分というか全範囲を一通り勉強済みなんですよね？
(話している感じからして)
積分に関しては木曜日に数学3の微分と積分の原理を、差分と和分の対比から習ったところです。
で覚える原始関数と部分積分・置換積分までを解説してもらったところで時間が来たので
後はプリントが大量に配られましてやっておいてね。という話でした。それを今日一日かけてやっていました。
体積とかは本当にノータッチです。面積は数学2までのものなら勉強済みです。
数Cは行列のはじめのほうは勉強していますが後はノータッチな感じです。
ただ一次変換とか不動直線、円錐曲線という用語はある程度知っています。中身はまったくわかりません。
だから、一通り勉強済みというか虫食い状態ですね。
>>248
木曜に習ったばかりですか！
それでここまでわかっているのは凄いですね。
ペースが速すぎると思いますが，塾(？)の方針なんですかね。
驚きました。
15時間(5週間)で入試の典型レベルを・・ってことなので
確かにかなりペースは速いですね・・・。
解説は原理を中心に話してもらえるので、自学しやすいのは確かですが。
>>250
そんなハイペースで勉強している人たちがいるんですね…。
積分は初めの方から覚えることが多いので大変でしょうね。
ではそろそろ寝ます。
また何か質問があったら書いてください。
-2(a-1){-2(a-1)x+2(a-1)}+2(a-1)x
が
2(a-1)(2a-1)x-4(a-1)^2になるかていを教えて下さい…
テストなので大至急お願いしたいです(;_;)(;_;)(;_;)
>>252
> -2(a-1){-2(a-1)x+2(a-1)}+2(a-1)x
xのついている部分だけでいいですよね？
-2(a-1){-2(a-1)x}+2(a-1)x=4(a-1)(a-1)x+2(a-1)x
=2(a-1){2(a-1)+1}x=2(a-1){2a-2+1}x=2(a-1)(2a-1)x
(a-1)を展開してはいけません。わかりにくかったら
a-1=A
と置き換えてもいいです。
よく分かりました(^o^)／
ありがとうございます。
早くて本当に助かりましたっ(^_^)v
またなにかあったらよろしくお願いします('◇')ゞ
>>254
はい，機会があったらまたどうぞ。
なんでこの人いつもすぐ返事が返ってくるの？
257 名前：名無しさん [2008/05/18(日) 00:42]ニートだからです
258 名前：京医 [2008/05/18(日) 01:48] そうやっていつも善意の人のスレ荒らすんだよな
お前ら馬鹿者は・・・少なくともこの人相当な数学の力あるぜ。
まあ質問してる人はきづいていると思うが。
掲示板で注意しても意味ないと思うが、いいかげん良いスレ
荒らすのは止めないか？現実の世界に戻れよ。
そうだぞ！この人はニートではない！これをよく読め！
88 名前：名無しさん [2008/02/22(金) 00:44 ID:.Gr/ReM6]
>>87
ちなみにニートという言葉はもともと教育や訓練を十分に受けていないために安定した職業につけない状態を指す言葉だった。
すっかり意味がゆがんでしまったね。
そういう粗雑な言葉の使い方は、私も好まない。
>>259
それは、ちょっと違うと思うな。
ニートは、定職に就けないか、就かないかに関係なく
“学校にも通っておらず、定職にも就いておらず、現在職業訓練も受けていない状態”。
つまり、なにもせずにブラブラしているというのが、今の一般的な理解。
>>260
じゃあやっぱり191さんはニートじゃん
三角関数の式変形が苦手です。考え方の原則としては
・sin.cosどちらかに統一して考える。
・2θなら2θ、θならθに角を統一して考える
・散らばっているθを和積等でまとめる
・半角等で次数を下げる
・six=t・sint+cosx=t・asinx+bcosx=t等と必要に応じて置き換える
といったものがあると思うんですがこの辺りから外れた問題に中々対処が出来ません。
例えばcos2x-√3sin2x+2cosx+2√3sinx=2cos(2x+60°)+4sin(x+30°)と合成してf(x)の最大値を見るとか
2sin2θ+sinθ-√3cosθ=2sin2θ+2sin(θ-60°)=0として和積からθを特定するような問題になると解けなくなります
cos2x-√3sin2x+2cosx+2√3sinxの問題なら合成をするにしてもsinとsin、ないしはcosとcosで合成してsinとcosに統一する方向で合成しちゃいますし
2sin2θ+sinθ-√3cosθの問題ならsin2θ=2sinθcosθと変形してここからcosかsinをどちらか消してみたい・・・
と考えてしまうんですが、それだとうまくいきません。
三角関数の式変形で原則から外れたようなものも解けるようにしたいのですが
どんなことを考えて解けばいいんでしょうか?
>>262
原則はその通りだと思います。あとは式全体が0以上なら2乗して考えるくらいですね。
その下の例は難しいのですが…
・最大値・最小値を求めろという問題ですか？
・数学3の微分を使うのもありですか？
この2点がどうなのかによって考え方が変わりそうです。
下の例は「解け」って奴ですね
2sin2θ+sinθ-√3cosθ=0をみたすθを0<θ<πの範囲で解けって問題です
数学1A2Bの問題ですけど微分はありだと思います
>>264
方程式なら最終的に因数分解することになるので…
・そのままでは因数分解できない(2倍角でばらしても)
・sinθとcosθの1次式がある
→よって後の2項を合成
と考えろという問題だと思います。
僕も2倍角を最初に考えますよ。
理由は和積(積和)と合成をなるべく使いたくないからです。
・合成は角度の部分がθでなくなってしまう
・方程式なら和積を使えば因数分解になるので面倒だけど仕方ない…
(ってそんなこと考えてますよね？)
だからこの問題は原則を外してきているんだと思います。
自分の場合は
・2倍角でθに統一→4sinθcosθ+sinθ-√3cosθ=0・・・・(あ)
・cosかsinに統一してcos=○とした後でsinを求める→sinθ=√3cosθ/(4cosθ+1) (cosθ=-1/4のときは別)
・(あ)にcosを代入してcosだけの式
といったところで失敗しました。。 (この方針でも3倍角の利用に気がつけば解けるようですが、僕には解けません。)
方程式なら最終的に因数分解するという考えはなかったです
f(x)=cos2x-√3sin2x+2cosx+2√3sinx 0<x<πが最大になるときのcosxを求めよ
という上の例で、
f(x)=2cos(2x+60°)+4sin(x+30°)と合成している理由はどんな感じでしょうか?
t=√3cosx+sinxとおいて最大最小もとめるのはある種原則的だと思いますけど
2cos(2x+60°)+4sin(x+30°)と合成する方法は言われてないと中々おもいつきません。。
必然的に、類題が出ても同じような合成ができない気がします
>>266
解決になりませんが…
医学部専用問題はわかりませんが，レベルの高い大学って
・三角関数の難しい式変形
・難しい漸化式を解く(解かずに評価は出る)
という問題が出ないと思うんです。
>>262 の上の問題はf(x+30°)について考えるということでしょうか？
難しいですね。いかにも合成を使えって式だから，まずは合成して
考えるということなんですかねえ。
というわけで「合成して和積」もたまには出てくるってことですかね。
…感想みたいになっちゃいました。
>>267
cos(2x+60°)=cos2(x+30°)
として2倍角の公式でsin(x+30°)の式にして平方完成…で解けました。
(グラフを描かせるソフトで確認済み)
どちらの例の問題も薬系の大学の問題みたいですし
それならそれで開き直ってしまうのもありですね・・・
参考になりました。ありがとうございます
>>270
一度解いておけばいいって感じだと思います。
志望校の過去問で類題が出ているようなら対策するということで。
> 必然的に、類題が出ても同じような合成ができない気がします
は僕もです。一方をcos，他方をsinで合成というのは思いつきません。
全く解決になりませんが…こういう問題が重要なら，
和積・積和・3倍角の公式は覚えろ(導いているようじゃ遅い)
と言われるはずです。
２６０に偽者発見！！コテはんつけようかしら
273 名前：名無しさん [2008/05/18(日) 15:32] もしかして191さんって本当にニートなの…？
毎日書き込んでるし…
またお願いします。
１は、自分で考えたんですが、添削をお願いします。
１，十人の中から五人を選んで円卓の周りに着席させる方法は何通りあるか
十人から五人を選ぶ方法は １０Ｃ５ ＝ ２５２ 通り
五人を円卓に着席させるのは、円順列。よって４！＝２４ 通り
従って、２５２×２４ 通り
２，異なる八冊の本がある。次のような分け方は、何通りあるか
（１）四冊、三冊、１冊の３組に分ける。
（２）２冊ずつ四人にわける
（３）２冊ずつ四組に分ける
（４）３冊、３冊、２冊の３組に分ける
３，正１２角形の三個の頂点を結んで出来る三角形のうち、次のようなもの
はいくつあるか。ただし、位置の異なる三角形は合同であっても異なる
ものとせよ。
（１）正１２角形と一辺だけを共有するもの
（２）正１２角形と辺を共有しないもの
4，５桁の自然数ｎの万の位、千の位、百の位、十の位、一の位の数字を
それぞれa,b,c,d,eとするとき、次の条件をみたすｎはそれぞれいくつ
あるか
（１）a>b>c>d>e
（２）a<b<c≦d<e
5,Ａ，Ａ，Ａ，Ｂ，Ｂ，Ｃの６文字から４文字を取り出す。
（１）横一列に並べる方法は何通りあるか
（２）円形に並べる方法は何通りあるか
６，９個のボールを大、中、小の三つの箱に分配する。ただしどの箱に
少なくともいつのボールは分配されるものとする。次のそれぞれの場合
について、その方法の総数を求めよ。
（１）箱もボールも区別しない
（２）箱は区別するがボールは区別しない
（３）箱もボールも区別する
（４）ボールは区別するが、箱は区別しない
６，１２段の階段を上がるとき、一段ずつあがっても２段ずつあがっても
１段と２段を適当に混ぜてあがってもよいとする。このときのあがり
かたの総数は
12Ｃ0＋11Ｃ1＋10Ｃ2＋9Ｃ3＋8Ｃ4＋7Ｃ5＋6Ｃ6
と表すことが出来る。この式で表される理由を説明し、総数を計算せよ
>>274
1番，合ってます。このように
組合せを求めてから，その組合せにおける順列を考える
というのはいい解法です。
別解として
10人円卓に並べると10P5
円順列だから5で割る
よって10×9×8×7×6÷5
というのもあります。
2以降はいつまでに解けばいいのでしょうか？
あと，今までのは合っていたかわかりますか？
(難しいのもあったので)
うわぁ…すぐに返事がくる…やっぱりニートなんだぁ…きもっ！！ネットやってないで外出ろよ（笑）
278 名前：名無しさん [2008/05/18(日) 20:05] 荒らしさん荒らすのは辞めてくれませんか？
ここには本気で勉強しに来ている人たちがいるんです。
荒らしてる人はその人たちの邪魔をして何が楽しいんですか？
せっかく191さんが親切に教えてくださってるのに台無しですよ…
∫[x=0→1]√(1+x^2)dxを求めよ という積分を教えてください
まずこのように考えました。
x=sinhtとおくと、√(x^2+1)=cosht
またdx=cosht dtであり、積分区間はt=0→t=log(1+√2)と対応するので
∫[t=0→log(1+√2)]cos^2(ht)dt=∫[t=0→log(1+√2)]{(e^2t)+(e^-2t)+2}/4 dt
ここでとまりました。
次にx+√(x^2+1)=uとおいて
dx/√(1+x^2)=du/u u=1→1+√2
x=(u^2-1)/2uと対応するので
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=∫[u=1→1+√2]{(1+u^2)^2}/(4u^3) du となってここで撃沈です。
答えは淡白で、√1+x^2の不定積分は1/2(x√(1+x^2)+log(x+√(1+x^2))だからこれに1と0をいれて引けばよい
とあります。
>>278
こいつが親切？猫かぶってるだけだぞ
こいつが他の板でどんだけ荒らしてるか君は知ってるのか？
自分は散々荒らしをしてきて、いざ自分のスレが荒らされたら
被害者ぶるのはちょっと虫が良すぎるんじゃないのかな？
あんまりこういうことするのは好きじゃないけど、例としてこいつの書き込み貼っとくわ
言っとくけどこいつが他の板で行ってきた荒らしはここの比じゃないよ
186 名前：名無しさん [2008/02/11(月) 07:18]
何を居丈高になっているんだ？
馬鹿者が。
誰も見落としもしていないし、お前が無能であることには何の変わりもない。
「勉強」の何たるかを一度も真剣に考えたことのないやつがなにをえらそうに人に指図しているんだ。
おまえのようなうす馬鹿には恥を知れといってもムダなのはわかっている。
永遠に消えてなくなりなさい。
305 名前：名無しさん [2007/08/19(日) 23:55]
「頭が切れる」と学力はイコールではないが無関係ともいえない。
東大模試で点数一桁とか、センターで平均に達しないとか、法政すらしっかり落ちるというのは学習障害のレベルだよね。
それでも「頭が切れる」という根拠はどこにあると思っているんだろう。
325 名前：名無しさん [2007/09/10(月) 23:20]
だからさあ、法政すら合格できないバカが何をいっぱし能書きこいてるの、という素朴な疑問に答えてないんだよ。
答えられないだろうけどね。
>>280
なるほど，そういうことだったんですか。
一回そんな感じのこと書いてましたね。
僕は>>281 の引用元の書き込みしてませんよ。
証明になりませんが，9月10日は勤務先のテストの日でした。
8日にあるはずでしたが台風で延期になりました。
あと，これも全く証明になりませんが僕は
、でなく，
を使ってます。
荒らしをしている人や関係ない話題で回答者さんを叩いている人は二点勘違いしていて
一つには、このスレは何も名無しさん(191)さんの専用スレではないということ。
結果的に191さんが答えまくってるけど他の人も利用するスレであるのだから
虫が良い悪いと論じること自体筋違いだし、このスレで>>281みたいな書き込みを張り込むこと自体お門違い。
もう一点は、そういう憶測の入った叩きがしたいのならそれ専用の板があるのだから
そこで思う存分やるのがmilkcafeのルール。「仮に」このスレの名無し191さんが別板で荒らしだったと仮定しても
191さんが利用しているスレにやってきて粘着的な書き込みをする以上、そのような書き込みをする人が
制裁されるようにこのサイトは出来上がってる。
その辺弁えてもらえないかなぁ・・・
>>279
上の解法は止まらずそのまま定積分いけますよ。
簡単に書くと
e^log(A)=A
を利用すれば計算できます。
その淡泊な解答は大学受験の本に出てたんですか？
大学1年くらいでやる本ならいいんですけどね。
後者はこれから検討しますが，僕はどちらの解法でもなく，
もっと遠回りな方法で計算します。
(昔習ったときの教科書の公式の導出のときと同じです)
>>280
もしそれが事実なら確かに191さんも悪いとは思いますが…
少なくともここでは親切に勉強を教えてくださっていたんです。
たとえ、191さんが他の場所で荒らし行為をなされていたとしても
あなたがここを荒らしても良いことにはならないと思いますよ。
つか荒らし犯特定できるレベルじゃないだろおまえは？？
でたらめな理由つけて関係ない人に絡んでんじゃねーよカス！！
>>282
へぇ、一年半前のことなんてよく覚えてらっしゃいますね、驚きです。
僕なんか一週間前の晩飯すら覚えていません。早とちりしてスミマセンでした。
そんだけ記憶力の良い頭脳があるなら就職すればいいのに…
しかし、191さんがプロバイダ変える前のIPと荒らしのIPが同じなのはどういうことなのかな
もちろん、近くに住んでてなおかつ同じプロバイダを使ってる人なら同じIPになりえますけど、
平日の真昼間や夜中、曜日、時間問わず出現し、しかもこんなローカル掲示板に書き込むなんて、
偶然にしては出来すぎてますね。あと284は191です。
>>286
たとえレイプや強盗をしまくってるような犯罪者でも
そいつが自分に対しては仲良く接してれば、問題はないと？
ふ～ん、なるほどね、よくいるんだよね、そういう自己中なやつ。
俺はたとえ一つのスレで親切に教えていようとも、他の板で荒らしまくってるやつは
即刻消えるべきだと思うけどね。アク禁にするべき。
アク禁にしてほしいならこんなところで荒らしてないで管理人にメールするとか
削除人に頼むとか運営に言えばいい。
とりあえずこのスレでは>>288のような存在は見事に邪魔なだけ。
まあいいや。別に俺も荒らす気はないしね。
ただニートと言われて被害者ぶってるから書き込んだ。
そもそもこんだけ書き込んでたらニートと言われるのも必然だろう。
こいつは生活リズム狂ってて平日も休日も働かずに寝る以外はネットで、
いい歳したオヤジのくせに女子高生にメアド交換強要するような
エロニートだってことはみんなは分かってるから、荒らしも相手にするな。
以上今後スレ違いの話は禁止。関係ない話はスルーで。終了。
>>279
後半は
{(1+u^2)^2}/(4u^3)
を展開して地道に計算すれば解けます。
(そこまで正しいです)
僕は√(x^2+1)を
(x^2+1)/√(x^2+1)
として
x^2/√(x^2+1) と 1/√(x^2+1)
に分けて計算します。前者は部分積分，後者は>>279 の後半と
同じ置換積分です。 右辺に左辺と同じ形の定積分が現れるので
移項して2で割ります。sinhtで置き換えるのは
√(x^2+1)=cosht
などを忘れそうなので，この方が安全だと思っています。
1512と7056の正の公約数の個数とその総和を求めよ。
この問題の解説お願いできますか？？
>>292
公約数は最大公約数の約数です。
ですから最大公約数の約数の個数を数えます。
最大公約数を求めて素因数分解します。
ここでは小さい数を例にして説明します。
12=2^2×3^1
ですが，下のような表を作ります。ずれてたらすみません。
| 1 | 2 | 4
－－－－－－－
1 | | | |
－－－－－－－
3 | | | |
横は2^0，2^1，2^2
縦は3^0，3^1
です。12を割り切る数(約数)は2^□と3^△の積で表されるので
その全パターンは上の表のマス目に横の数と縦の数の積として入ります。
この場合は3×2で6個です。3×2の
3は2^2の指数の2に1を加えた数
2は3^1の指数の1に1を加えた数
です。
素因数分解して
2^2×3^1×5^3
のようになったら，約数の個数は
3×2×4
です。
ここまでどうでしょう？
>>291
ありがとうございます。確認してみます。
この本というかプリントは、例の積分の問題の中で出てきまして
この積分は誘導つきで置換させて解かせるタイプの問題みたいです。
ただ原始関数は理解しておいたほうが絶対に良いということでした。
慶應がこの積分をよく出すみたいです
>>294
> ただ原始関数は理解しておいたほうが絶対に良いということでした。
そうなんですか…だからプリントには公式みたいに書いてるってことですか。
う～ん，僕は1/2がついているのとlogが出てくるのは覚えているけど，なんとなくです。
確認してみて疑問点があったらまた書いてください。
290が終了だろ？？お前浪人しすぎで精神崩壊してるのも分かるけど
あんまり邪魔しないでよ。いい加減諦めて働けば？大学が全てじゃないんだよ？
ところで名無し(191) ◆fnVdQViY さんは何学部出身なの？？
298 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/18(日) 23:55] >>297
書いても参考になりませんよ…僕は普通の大学受験をしてません。
だから予備校や塾に通ったことがないです。
勤務していた塾でも研修などはなかったので，ほとんどの知識は本から得ました。
独学っすか？？・・すごいな。まさか大検出身とか？でも言いたくなさそうなので
これ以上の詮索は止めときます。
あと290の馬鹿に一つだけ共感なんすけど女子高生とのメール交換は
拒否したほうがよかったと思いますよ。
良いスレ頑張って下さいな！！俺はこれからちょっと課題やりますんで
落ちますね。さいなら～～
あと290の馬鹿に一つだけ共感なんすけど女子高生とのメール交換は
拒否したほうがよかったと思いますよ
↑まあ二人が顔見知りって事もあるんで一概には言えませんけどね。
生いってすいません今度は本当にさいなら～～
>>274
2と3の解答です。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18846.pdf
わからない部分があったら言ってください。
今夜はここまでで，続きは明日作ります。
>>292 の後半，総和の求め方です。
>>293 の表に書き込む数は
1×1，1×2，1×4
3×1，3×2，3×4
で，これらを全部足すのですが，よく見ると
(1+3)(1+2+4)
を文字式のように展開した式と同じことになっています。よって
4×7=28
と求められます。
この問題の場合，最大公約数が504なので(ここは大丈夫ですか？)
504=2^3×3^2×7^1
なので，公約数の個数は
(3+1)(2+1)(1+1)=4×3×2=24
より24個。公約数の総和は
(1+2+4+8)(1+3+9)(1+7)=15×13×8=1560
より1560です。
＞302さん、ありがとうございます!
助かりました。
ttp://www.borujoa.org/upload/source/upload18851.pdf
↑の3つの問題を質問させてください
1番目の問題はα+β+γ=180°となるγを取って三角形ABCを考えると
正弦定理よりsinα=a/2R sinβ=b/2B
sin(α+β)=sinγ=c/2Rとから、sinα+sinβ=√2sin(α+45°)とわかり
1<sinα+sinβ≦√2となったのですが(答はあってます)
この問題を数式主体でときたいと思っています。加法定理等で展開してがんがん計算すれば
できそうだとは思うんですが、やり方がわからなくて困っています。
計算主体でこの問題を解く方法を教えていただけないでしょうか?
2番目の問題は-2≦c≦2を動くとき、
「sinx-cosy=cかつcosx-siny=W (Wとおいた)をみたすようなx.yが存在する」
(c.w)の集合を考えればよくて
(cosα=Aかつsinα=βとなるα、βが存在する)⇔(A^2+B^2=1かつA.Bは実数)
となる同値性を利用して議論すればいいと思うのですが、うまく必要十分の論議が出来ませんでした。
まず「sinx-cosy=cかつcosx-siny=W (Wとおいた)をみたすようなxが存在する」
⇔(sinx)^2+(cosx)^2=(c+cosy)^2+((W+siny)^2=1
⇔c^2+W^2+2ccosy+2Wsiny+cos^2y+sin^2y=1・・・(A)
次に(A)をみたすyが存在するための必要十分条件を考えるべくyを消そうとして
2ccosy+2Wsinyの扱いに困りました。
仕方がないので同値性をぼかすような形で合成→不等式で評価して
-√(4-c^2)≦W≦√(4-c^2)を得ましたが、ちょっと座りが悪いので
必要十分を意識した解答をお願いできないでしょうか?
3番目の問題はいまいちどうしていいかわかりません・・
4c-D=180°とかsin(A+3B)/cos(A-3B)=sin4C/cos(A-3B)とか
和積積和等色々いじってみたのですが・・・駄目でした。
>>304-305
ちゃんと答えられるかわかりませんが考えてみます。
結構時間かかりそうです。
1は以前解きました。加法定理で解けた気がします。
その解答はうまいですよね。
3は変わってますね。
>>274-275
解答全部できました。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18852.pdf
>>304
まともに計算したら解けました。
右辺を
(sinαcosβ+cosαsinβ)^2
として計算し，移項すると
sin^2α(1-cos^2β)-2sinαcosβcosαsinβ+sin^2β(1-cos^2α)=0
sin^2αsin^2β-2sinαcosβcosαsinβ+sin^2βsin^2α=0
2sin^2αsin^2β-2sinαcosβcosαsinβ=0
ここでsinα>0，sinβ>0より両辺を2sinαsinβで割り
sinαsinβ-cosβcosα=0
cos(α+β)=0
α+β=90°…α，βの範囲より
したがって
sinα+sinβ=sinα+sin(90°-α)=sinα+cosα
あとは同じですね。
α+β=90°より0<α<90°に注意して
1<sinα+sinβ≦√2
が得られます。
>>305
2番は
-√(4-c^2)≦W≦√(4-c^2)
で正しいのでしょうか？
(こうなりませんでした…)
3番は
tan(A+3B)=tan4C
より
A+3B=4C，4C+180°，4C-180°
となり，これを1番目の式と2番目の式に代入して
C=D=60°
だけが0°<x<90°の範囲に入ります。
4番目の式が
cos(A-3B)=cos240°
となり，
A-3B=240°，120°，-120°，-60°
とし，240°と120°はA>90°となりダメ。
これとA+3B=240°と連立し，-120°の方が適し，結局，
A=B=C=D=60°
となりました。
>>307
ありがとうございます。
こういう計算で押し切る力が自分は結構弱いみたいで、
ノートを見直してみると↓までは自分でも出していますが
>2sin^2αsin^2β-2sinαcosβcosαsinβ=0
ここから先は何か別のことを考えはじめたみたいでぐちゃぐちゃになっていました。
もう少し式を扱う力がつけたいものです・・
>>308
2番はそれで正しいと思います。プリントの答えがそうなので。。
解答そのものがどこかでミスしていたらアレですけど・・・
3番はtanでA+3BとCとの関係の候補を出して不等式で絞って答えを特定するのが
ポイントだったんですね・・・ これは思いつきませんでした。。
>>309
惜しかったですね。
式が長くなるので試験会場だと焦りそうな気がします。
>>310
2番は…また考えてみます。
3番はA+3Bが3ヶ所も出てきていたので怪しいなと思いました。
ちょっと出掛けるので2番の解答は遅くなります。
2番に関してはこちらも土曜日に先生に直接聞いて見ます。
間違えかも知れないので。
A+3Bをみて、カラクリに気がついたんですね。そういう視点を育てないとですね。。
>>312
2番ですが，同じ式が出ましたが，最初に出した式(ここには書いてません)が
違う理由がわかりません…。
もう少し検討してみます。
>>312
2番わかりました。
難しかったです。
夕方以降に書きますね。
式変形はほとんどいりませんでした。
>>305 の2番の解答です。
http://www.borujoa.org/upload/source/upload18871.pdf
グラフはわかると思うので省略しました。
他の解法もあるかもしれませんが，式の見方の問題なんですね。
初めに考えていた間違った解答も書いてあります。
(夕方以降のつもりでしたが書きました)
>>315
遅くなりましたが今から拝見させていただきます
カテちがいですが教えてください！
物理の問題なんですけど
2as=2vo(v-vo)-(v-vo)⌒２
分かるヒトいますか？？
>>317
公式のようですが，問題なんですか？
何か条件があってそこから導けとか，もう少し詳しい情報はありませんか？
(と言いつつ僕は数学しかわかりません)
>>316
疑問点があったら言ってください。
僕の1つ目と2つ目の解答は必要条件でしかないってことですね。
あと>>274-275 の解答は流れてしまったので，必要なら再アップします。
http://grodictionary.blog54.fc2.com/blog-entry-25.html#more
321 名前：名無しさん [2008/05/23(金) 05:42] √(x^2+1)+√y=2√2で表された曲線Cの概形を描き
y=x+9+12/(x+4)+4√(2x^2+2)で表される曲線DとCで囲まれる部分の面積を求めよ
という問題をおしえてください
まず前段階のCの概形が書けません・・・どうしたらいいでしょうか?
>>321
移項して
√y=2√2-√(x^2+1)
とし，不等式√y≧0を解くと-√7≦x≦√7なので，上の式を2乗し，
y=x^2-4√2√(x^2+1)+9，-√7≦x≦√7
が得られます。もちろんグラフはy軸対称です。
x=0で最大になる釣り鐘状のグラフになります。
必要ならグラフの画像をアップします。
(ここまでしか解いてません)
>>321
囲まれません…
> y=x+9+12/(x+4)+4√(2x^2+2)で表される曲線DとCで囲まれる部分の面積を求めよ
の4√2を-4√2にすると囲むようです。
>>322-323
すいません、問題は-4√(2x^2+2)でした。寝ぼけてましたorz
.√が入ってくると単純に二乗してすぐに同値性が崩れるので
ちょっと苦手みたいです。ありかどうございました
>>324
僕も>>323 の式，ちょっとミスしてますけどね…。
同値性を気にする気持ちはわかりますし大事です。
この問題では後半で囲まれる部分の面積を求めるので，交点が必要になるため
2乗する…と考えました。dy/dxを求めるだけなら，そのままでいいんですけどね。
僕はグラフ作成ソフトのfunctionViewというのを使っています。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
今回の問題のようにy=f(x)の形になっていなくても描いてくれます。
領域や，パラメータ入りの場合でも対応していて便利です。
これは便利そうですね。
最大最小で一文字固定する方法とか、一文字を固定することで断面を考えている
みたいなこと言われますけど、中々イメージ出来ないんですよ。
グラフソフトがあると立体が視覚で捉えられるので便利そうです
>>326
>>192 で通過領域(この問題は通過しない領域)の問題を聞かれましたが，
そのときこのソフトを紹介しておけばよかったですね(>>208)。
√y=2√2-√(x^2+1)
これを図示したいときは、「図形の方程式」というところに入れればいいのかな･･
少しいじってみます
>>328
そうです。移項しなくていいです。
うーん・・描写されませんね。。何故だろう・・
331 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/23(金) 20:27] >>330
√yはsqrt(y)とする…でしょうか？
おお・・でましたでました。放物線みたいな奴が
333 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/05/23(金) 20:31] >>332
もう一方の式も入力すると囲む部分がわかります。
面積を一応求めましたが，わからなかったら書いてください。
では出掛けてきます。
すいません・・別の問題を教えてください
(x.y)=√t(cost.sint) 0≦t≦πのグラフの概形を書きたいんですけど(パソコンを用いずに)
dx/dt={√t/2t}(cost-2tsint)と変形して詰まりました・・この後合成しようにも
うまく角度が出てきませんしどうしたらいいでしょう?
>>334
難しいですね。
それは入試問題，または何かの本に出ている問題ですか？
(つまり解けるはずということでしょうか？)
>>334
実はx軸と囲む部分の面積を求める問題ですか？
「グラフを描け」ではなく。
95年度の中部大学の問題です。解答は不明です。
正確な問題は以下の通りです。
.
tを媒介変数としてx=(√t)cost、y=(√t)sintで表される曲線Lがある。
・0≦t≦πにおける曲線Lの孤の概形を描け
・0≦t≦πにおける孤とy軸で囲まれる部分の面積を求めよ
です。(2)は(x.y)=√t(cost.sint) 0≦t≦πより原点を極・x軸を始線とした
極座標表示してやれば、∫[t=0→π](1/2){(√t)^2}dtで求まると思うのですが
(1)を答案として仕上げるのはどうしたらいいのか・・・
いや、パソコンで描いたグラフ見ると
どうもt=0→πではまずそうですね・・・x=0のときのt=t_1を出して
積分区間は0～t1あたりかな・・・
>>337
そうですか…困りましたね。
dx/dt=0となるtが求まりませんよね。まともな形でtを消去するのもできなそうだし…。
dx/dt=0となるtをαとして…なんて解答になっちゃいそうです。
塾のプリントの問題ですか？
そうです。例のプリントです。
dx/dtの形は合成とか通用しないですしね・・・
でも綺麗な形なんで何かしらカラクリはありそうなんですが・・・
>>340
もうちょっと考えてみます。
>>304-305 の質問の方とは別人ですか？
(>>305 の2が気になってます)
いえ同一人物です。
>>312に書いたとおり土曜日(つまり明日)に先生に聞けるので確認してきます。
>>342
やっぱりそうでしたか。
>>315 の解答(3つ目)は自信ありです。
今回の問題はこれから長考します。
僕も質問するときは名前入れたほうがわかりやすいかな・・・
3つ目の自治医大のA+3Bにはやられました。
意味ありげな設定や何度も出てくる設定には注意するといういい教訓になりました
>>344
雰囲気や数式の書き方でわかりますが，名前があった方がいいですね。
三角関数の問題はパズルっぽくて面白いのですが，入試のときに出るのは嫌ですね。
(解ければかまわないのですが)
>>334
長考宣言したものの…
> dx/dt={√t/2t}(cost-2tsint)と変形して詰まりました・・この後合成しようにも
dx/dt=0となるちゃんとした数値は求まらないと思います。
この式をcos tでくくって
dx/dt={(cos t)/2√t}(1-2t tan t)
として(微分する前からt≠0とします)
1/2√t > 0
cos t の符号は簡単
なので
1-2t tan t
の符号しだいなのですが，この式をf(t)とおくと
f(π/6) > 0，f(π/4) < 0
が簡単に求まり，f(t)は単調減少なので
f(α)=0となるα，ただし，π/6 < α < π/4
と設定し，増減表に記入するんだと思います。
面積を求めるのが目的なのでこの程度の正確さでいいかなと…。
>f(π/6) > 0，f(π/4) < 0が簡単に求まり，f(t)は単調減少なので
>f(α)=0となるα，ただし，π/6 < α < π/4と設定し，増減表に記入する
入試において(1)で概形をきかれ(2)で面積を求めるときは
慣例的にこういうアバウトな感じの増減表でよかったりするんでしょうか?
>>347
いや，わかりません。
(無責任ですみません)
1-2t tan t = 0
みたいのを超越方程式といいますが，明らかな解があるとき以外は
たぶん解けないので，これも解けないと思います。
また，グラフの概形を考えたとき，
π/6 < α < π/4
まで範囲が特定できていれば十分かなと思います。
明日聞いてみて，うまい解法があったら教えてください。
超越方程式ですか・・なんかかっこいいですね。
ありがとうございました。
明日、>>315とあわせて聞いて参ります
>>349
どうでしたか？
両方とも気になっています。
例の1-2t tan t = 0については概ねこの解法で問題ないそうですが
進行表のαに対して1-2αtanα=0をみたすただ一つの定角であることを書かないと
ケチつけられるかもしれないという話でした
>>305の回答はばっちり正解でした。
>>351
1つだけというのは>>346 の「単調減少」という言葉で言えていると思います。
やっぱりその方程式は解けないんですね。
>>305 の方は…正解なのは嬉しいのですが，難しすぎると思います。
試験時間内には思いつきません…。
cos20°+cos140°+cos260°の値を求めたいときに
図形的に重心と原点が一致するから(0.0)みたいにして求められましたけど
cos40°+cos80°+cos160°の値等も図形的に求められたりしますでしょうか?
三角関数の問題で、与えられ式を図に直して解ききる練習をしているのですが
中々うまくいかなくて大変です。。
>>352
問題の難易度としては標準問題みたいなのですが
やっぱり難しいですよね・・・ >>>>304-305の問題の中では京都大学の問題が
一番易しく見えました。
>>353
どうでしょうね。
できそうな気もしますが思いつきません。
>>354
標準問題ですか…円の方程式とみなすというのはかなり難しく感じます。
見かけない問題なので難しいですよねえ。
残りの2問は「京都大学」と書いてなければ僕もそう思います(笑)
では，そろそろ寝ます。
図形的解法は本日の課題ということで。
お久しぶりです。
最近宿題プリントもありませんでしたが、また復活したので
お世話になります(^^;)
2003佐賀大
次の数列{an}の一般項を求めよ。
1,2,4,10,23,46,82,134,…
階差数列{bn},{cn}をそれぞれ用いろとの誘導があるのですが、
自分で解いてみると、どうしても
bnの一般項がn=1の時に不成立になってしまいます；
やはりどこかでの計算ミスをしているのでしょうか？？
>>356
お久しぶりです。
階差数列の利用で解けました。
b_n=(3n^2-7n+6)/2
です。
(一般項をb_nという表記にしました)
>>357
すみません、足し算のケアレスでしたm(_ _)m
大阪教育大
Sn=αn^3+βn^2+γn+δ (α,β,γ,δは定数)
で与えられるとき,{a_n}が等差数列となるための必要充分条件を求めよ。
よろしくおねがいします。
>>358
α=0かつδ=0ですが，ここに書くのは大変そうです。
他にも問題はありますか？
>>359
いくつかありますが、大変なようでしたら
ほかの問題は自力でやってみます^^
>>360
PDFにしようと思ったという意味です。
しかし，途中の計算を省略すれば大丈夫そうです。
今書いている途中です。
もっと質問があるのなら，解答作成中に問題を書いてもらった方が助かります。
>>361
ではよろしくおねがいします！
1997高知大
(1) Sn=Σkx^k-1を求めよ。
これは
Sn=1-(x^n)-(1-x)nx^n/(1-x)^2
までは出たのですが、ここからきれいに変形できなくて困っています。
(2)初項1,交差2の等差数列の第k項をx_kとし,初項1,公比2の等比数列の
第k項をy_kとする。このとき,Tn=Σ(x_k)(y_k)を求めよ。
(1)見にくいですね；
Sn=Σkx^(k-1)
です！
>>362
> (1) Sn=Σkx^k-1を求めよ。
これはxのk-1乗ですか？
>>145 の(3)で説明した等差×等比型の数列の和です。
(2)もそうですね。
解けそうですか？
あと，>>145 の解答を保存していなかったら再アップします。
>>362
すみません，(1)はその後の計算ということですね。
しばらくお待ちください。
>>362
> Sn=1-(x^n)-(1-x)nx^n/(1-x)^2
は
Sn={1-(x^n)-(1-x)nx^n}/(1-x)^2
ですね。分子を展開してx^nの項をまとめればいいです。
あと，細かいですがx=1の場合も答えるんだと思います。
一番初めの式でx=1とするのでS_n=Σkです。
>>358 の解答です。
・S_nを等差数列の和とする
n≧2のときa_n=S_n-S_{n-1}なのでこれを計算すると
a_n=3αn^2+(-3α+2β)n+α-β+γ…★
等差数列の一般項はnの1次式または定数なので
α=0…n^2の係数が0より
n=1のときa_1=S_1なのでこれを計算すると
a_1=α+β+γ+δ=β+γ+δ
これが★の(α=0を代入した式の)n=1のときと一致するので
β+γ+δ=2β-β+γ=β+γ
よってδ=0
したがってα=0かつδ=0
・{a_n}が等差数列とする
初項をa，公差をdとすると一般項は
a_n=a+(n-1)d
このとき
S_n={a+a+(n-1)d}n/2={dn+2a-d}n/2={dn^2+(2a-d)n}/2
これが
S_n=αn^3+βn^2+γn+δ
と一致するので係数を比較して
α=0かつδ=0
を得る。
以上より，必要十分条件はα=0かつδ=0である。
>>366
理解できました(^^*)
ありがとうございました！
>>367
全部解決しましたか？
問題がもっとあるならどうぞ。
ではお言葉に甘えて^^;
問題を入力しますのでお待ち下さい。
2002青山学院大
次の数列に関し,下の問に答えよ。
Sn=1+2+2^2+…+2^(n-1)
Pn=1+2・2+3・2^2+…+n・2^(n-1)
Qn=1+3・2+5・2^2+…+(2n-1)・2^(n-1)
Rn=1+2^2・2+3^2・2^2+…+n^2・2^(n-1)
(1) Sn=(ア)^n+(イ)である。
(2) Pn=n(ウ)^n+(エ)Snである。
(3) Qn=(オ)Pn+(カ)Snである。
(4) Rn=n^2(キ)^n+(ク)Qnである。
(5) 以上のことから,
Rn=(n^2+(ケ)n+(コ))((サ))^n+(シ)を得る。
遅くなってしまって申し訳ないです><
>>370
(1)～(3)は解けるのではないでしょうか？
解答持ってるんでしたっけ？
回答持ってないんです…
自信はないのですが(1)はなんとか。
(2)でつまずきました(；_；)
>>370
(1) 2^n-1なので，ア…2，イ…-1
(2)は等差×等比型です。
P_n - 2P_nを計算し，-P_n=S_n-n・2^nとなります。よって
P_n=n・2^n-S_n
より，ウ…2，エ…-1
まずはここまで，どうでしょう？
>>373
分かりました！
>>370
(3)はQ_n-2Q_nを計算します。右辺は
1+2・2+2・2^2+…+2・2^(n-1)-(2n-1)・2^n
となります。一番初めが2なら2S_nが作れるので，1を-1+2として
-1+2+2・2+2・2^2+…+2・2^(n-1)-(2n-1)・2^n=-1+
と変形します。上の右辺の後半は展開しているだけです。
ここからP_nを作りますが，P_nにはS_nが含まれています。
よく見ると最初と最後をくっつけるとS_nが作れるので
-Q_n=2S_n-2n・2^n+2^n-1=2(S_n-n・2^n)+S_n=-2P_n+S_n
よって
Q_n=2P_n-S_n
となり，オ…2，カ…-1
>>370
(4)は意外と易しいです。R_n-2R_nを計算するとQ_n-n^2・2^nとなります。よって
R_n=n^2・2^n-Q_n
より，キ…2，ク…-1
(5)は今までの結果を全部使います。計算だけなのでやってみてください。
R_n=n^2・2^n-Q_n=n^2・2^n-(2P_n-S_n)=…
と計算します。結果は
R_n=(n^2-2n+3)・2^n-3
より，ケ…-2，コ…3，サ…2，シ…-3
どうでしょう？(3)が解ければ大丈夫でしょう。
(4)で等差×等比型と同じ計算ができるかもポイントですね。
わからないところがあったら言ってください。
>>376
-1+2+2・2+2・2^2+…+2・2^(n-1)-(2n-1)・2^n=-1+
この右辺はどうなるのでしょうか？？
>>377
(3)です！
>>377
すみません，書いたつもりでいました…
-1+2+2・2+2・2^2+…+2・2^(n-1)-(2n-1)・2^n=-1+2S_n-2n・2^n+2^n
です。
とけました^^
ありがとうございました～！
>>380
おつかれさまでした。
等差×等比を知っていれば解けるので，ちょうどいい応用問題だと思います。
>>381
そうですね。
ちょっと応用になるとまったくできなくなってしまうので--；
>>382
こういう応用問題を解くことで実力を付けていくんですね。
大変かもしれませんが，がんばってください。
>>383
やっぱり問題数をこなすに限りますよね…
がんばります！
円に内接する四角形ABCDにおいてAB=a.BC=b=6.CD=c=6.DA=d=1
四角形ABCDの面積をSとする。Sを最大にするaの値を求めよ
という滋賀医大の改題を解いています
この問題でブラーマグプタの公式からS=(1/4)√{(a+11)(13-a)(a+1)^2}となって
これの最大となるaを求めたいのですが、相加相乗って使えるのでしょうか?
13-a>0でないとSが存在しないので、13-a>0は自明としていいんでしょうか?
また相加相乗をつかうとき
(a+1)+(a+1)+(13-a)+(a+11)≧4((a+11)(13-a)(a+1)^2)^(1/4)
という風に使ってしまってもいいでしょうか? それとも
(a+11)+(13-a)+(a+1)^2≧～と使わないと駄目なのでしょうか?
>>385
> この問題でブラーマグプタの公式からS=(1/4)√{(a+11)(13-a)(a+1)^2}となって
> これの最大となるaを求めたいのですが、相加相乗って使えるのでしょうか?
適用できますが，解けないと思います。
> 13-a>0でないとSが存在しないので、13-a>0は自明としていいんでしょうか?
0<a<13において不等式が成立する，としていいはずです。
> また相加相乗をつかうとき
> (a+1)+(a+1)+(13-a)+(a+11)≧4((a+11)(13-a)(a+1)^2)^(1/4)
> という風に使ってしまってもいいでしょうか? それとも
> (a+11)+(13-a)+(a+1)^2≧～と使わないと駄目なのでしょうか?
後者の場合は3項の場合ということですよね。どちらも正しい不等式になりますよ。
ただ，この問題を解く場合，左辺が定数にならないので，うまくいかない気がします。
ほんとだ・・うまくいかない・・・
一旦元に戻して2s=a+b+c+dを利用して計算しても
等号成立が成り立たなくてやられますね。ということは最終手段の微分かな・・・
綺麗な積の形なので有名不等式っぽい気もしますが・・
>>387
僕は微分が素直な解法だと思ってました。
でも面倒そうですね。
>>385
√の中身をf(a)としてf’(a)を計算すると(a+1)でくくれるので，計算はそれほど大変でないようです。
a=9のときに最大になりました。
また，面積Sは△ABC+△ACDを計算すれば(当然ですが)同じ式になりますね。
sinBが必要になりますが，AC^2を余弦定理で2通りに表し，cosBを求めます。
>>353
図形的な解法は思いつきませんでした。
cosθ+cos2θ+cos4θ=cosθ(1+2cos3θ)
より，cos3θ=-1/2なら0になるので40°はそこから出てきた数字なんですかね。
図形的に解くには40°であるからうまくいく…というのを発見しないといけないですね。
cosθ+cos(θ+40°)+cos(θ+120°)では手がかりがつかめませんでした。
>>389
>>353の問題ですがcos40°+cos80°+cos160°=cos40°+cos160°+cos280°
として単位円周上に(cos40.sin40).(cos160.sin160).(cos280.sin280)と3点をとって
三角形をつくってやると三角形が正三角形になるので、内接円の中心は重心と一致して
原点が重心となるからイコール0という解法を今のところ考えています。
論理的に正しいかどうかはわからないのですが・・・
積の微分法を三項においてやらないといけないんですよね・・・
あるいは展開して二項の積の微分法で・・・ 微分は最終手段にしてもう少し考えて見ます
>>390
おお！すごいですね！！
正しいですよ。x座標だけの話ですもんね。
正しいのなら良かったです。和積とかでまとめたほうが素直だとは思うのですが
今はなるべく簡単な問題でも色んな解法を自分の中に持っておきたいと思っているので。。
来月の初頭に模試がありますが成績が良い形として現れてといいなぁと思いつつ。。
>>392
正三角形の重心なので
cos40°+cos160°+cos280°= cos40°+cos80°+cos160°=0
でいいですよ。
模試の数3は極限くらいまでですかね？
がんばってください。あと，復習が大事ですよね。
微分は3項の場合の公式で計算しました。
他の解法は…僕も検討してみます。
>>385
やっぱり微分で解く問題だと思います。
うまい解法，思いつきません。
図形的な性質からも，うまくいかなそうです。
>>393
数3は極限までですね。多分難しい問題は出なさそうです。
数学1A2Bまでで勝負みたいな感じかも。。
>>394
微分で解きました。導関数が-4(a+1)(a-9)(a+8)になるのでa>0で増減表を書くと
こちらもa=9が最大になりました。
三角形ABCの∠A,∠B.∠Cに対応する角をAB.Cとする
sinC=(sinA+sinB)/(cosA+cosB)が成立するとき三角形ABCはどんな三角形か?
この問題で、sin.cosを辺の情報に直して直角三角形というのはわかるのですが
角の情報に直して図形的にとく方法はないでしょうか?
具体的には和積を利用して(sinA+sinB)/(cosA+cosB)={sin(A+B)/2}/{cos(A+B)/2}=tan(A+B)/2
とわかって、三角形ABCの辺BCを伸ばしてAC=CDとなるように点Dをとると
三角形ACDは二等辺三角形で∠ACD=A+Bだからこの二等分線を引いてADとの交点をMとすると
CM⊥ADというところまでは考えられるのですがここから議論が進みません
>>395
数学3Cは難しい問題でないかもしれませんね。
(一般的な高校の授業のペースに合わせると出せませんよね)
>>396
sinC=tan(A+B)/2 から計算のみで解きました。
tan(A+B)/2=tan(90°-C/2)=1/(tanC/2)
より
sinC tanC/2=1
半角の公式を使うために両辺を2乗
sin^2 C tan^2 C/2=1
(1-cos^2 C) (1-cosC)/(1+cosC)=1
(1-cosC)^2=1
1-cosC=±1
cosC=0，2
cosC=0
C=90°
ありがとうございます。
その計算式を参考にして図形のモデルを作って考えて見ます
>>398
僕も同じ図で考えてみましたが，うまくいきませんでした。
図から長さの関係式を立ててみたのですが…もしそうするのなら初めから
長さの関係式にした方がいいかなあと思いました。
感覚的な話ですが
sinC=tan(A+B)/2
が有名角で成立するのはC=90°だけですよね(三角形の角では)。sinは√2，
tanは√3でできた数なので。
だからこの時点で直角三角形になると予想する…というのがよさそうです。
191さんでもうまくいきませんでしたか。。
自分の中でも保留にしておいて夏とかよ長く時間が取れるときにでも考えて見ます
長さの関係式からならかなり楽に変形できるので
試験上ではこの解法をとることになりそうです。角の関係式にすると
和積が絡んでくることが多いと思うのですが、これは覚えていないので導くのがめんどくさいという事情もあります。。
>>400
長さの関係式に変形するようにと学校や塾では教えますよね。
(sinもcosも長さの式にできますからね)
>>396 の図はうまくとらえていて興味深いのですが…僕も後日考えてみます。
ある程度はこういうのを考えてみるもの大事ですね。
長さの関係式にするものだと思っているので，そういう発想がなくなっていました。
100！を割り切ることができる最大の２の累乗は２^アであり、
最大の５の累乗は５＾イである。
すみませんこの問題教えてください。アとイを求めたいです。
404 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/06/01(日) 22:40] >>402
100！を素因数分解できないので，1から100までの整数をバラバラに数えます。2の倍数は
2，4，6，8，…
ですが，2は1個，4は2個，6は1個，8は3個，素因数として2が含まれています。
こうやって数えるのは大変なので
2の倍数は何個あるか？
2^2=4の倍数は何個あるか？
2^3=8の倍数は何個あるか？
・・・・・・
と数えます。そうすると2は1回，4は2回，6は1回，8は3回カウントされるので，
100！を素因数分解したときの2の指数が求まるわけです。
2の倍数は100÷2=50 より50個
4の倍数は100÷4=25 より25個
8の倍数は100÷8=12余り4 より12個
16の倍数は100÷16=6余り4 より6個
32の倍数は100÷32=3余り4 より3個
64の倍数は100÷64=1余り36 より1個
(128はオーバーしているのでここまで)
よって50+25+12+6+3+1=97よりアは97です。
イも同様です。
5の倍数は100÷5=20 より20個
25の倍数は100÷25=4 より4個
(125はオーバーしているのでここまで)
よって20+4=24よりイは24です。
a.b.cの3種類の文字を横一列に並べてn個の文字からなる文字列をつくる。
同じ種類の文字は何個使用してもいいが、同じ種類のものは隣り合わないものとする。
このようにして作られた文字列を長さnの文字列とする
n≧3となる自然数nにたいして長さnの文字列で左端の文字と右端の文字の種類が
同じであるような文字列の個数をX(n)と書くとき、X(n)をnで表せ
02年度日大の生物資源科の問題です。
最後か最初に着目して漸化式を立てようという方針はわかるのですが
どうも何か勘違いしていてうまくいきませんでした。お願いいたします。
>>405
解法の前に…これで合ってますか？
X(3)=6，X(4)=6，X(5)=18，X(6)=30
>>406
あってます。
>>405
では解法を…。
先頭がaの場合だけ考えます。このときの文字列の個数をa(n)とします。
樹形図をn=4の場合まで作ってみると，n=3のときにaでなかった所に1つずつaが来ます。よって
a(4)=4-a(3)
で，この4はn=3のときの全部の場合の数なので2^(3-1)=2^(4-2)となっています。つまり
a(4)=2^(4-2)-a(3)
です。したがって
a(n)=2^(n-2)-a(n-1)
a(n)=-a(n-1)+2^(n-2)
として，a(n)を求め，3倍し，
X(n)=2^(n-1)+2・(-1)^(n-1)
となります。
ありがとうございます。
>n=3のときにaでなかった所に1つずつaが来ます
この1つずつ対応というところが見抜けませんでした。
>>409
なるほど，そうでしたか。
これは適度な難易度かもしれません。
解くべき漸化式もよくあるパターンですが，易しすぎないですし。
京都大学と東京大学がそれぞれ列車を塗るとかタイルを敷き詰める
といった類題的な漸化式問題をだしてるみたいですが、
個人的にはこの問題が一番難しく感じました。答案にもしにくいし対応もみにくかったし･･
>>411
そうですか…問題のポイントが見抜ける・見抜けないは，そのときの調子(？)によるので
しょう。わかれば難しくないですよね？
僕は立式のミスがありました。初めはX(n)を直接求めていたのですが，
X(n)=3{2^(n-2)-X(n-1)}
としてしまいました…。正しくは
X(n)=3{2^(n-2)-X(n-1)/3}
です。その後，ここに書くためにa(n)で解き直しました。
そうですね、わかってしまえば・・・
まぁそれがまた難しいところですが。。。
例のtanの図形的解法を>>412の書き込みを拝見して突然思いついたので(何故！？）
見ていただきたいのですがpdfアップする場所がない・・・
ttp://www.acat.jp/acat/upload/up/1123.pdf
こんな感じになったのですが、どうでしょう?
>>413
別の機会に類題が解けなかったら復習が必要でしょうが，すぐにわかったのなら問題ないでしょう。
>>414
突然ひらめきましたか！
ぜひお願いします↓
http://sakuratan.ddo.jp/uploader/upload.cgi
しかし、tan(A+B)/2=sinCつかっていない・・・ような・・
なんか間違えたかな。。orz
>>417
このままだと「したがって」の後の式が成立しないですかね。
ああ・・なにか勘違いしていたようです。申し訳ありませんorz
420 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/06/02(月) 21:07] >>419
いえいえ。
これはちょっと難しそうです。
>>415の図の記号をそのまま利用する。
条件よりsinC=tan(A+B)/2⇔AN/AC=MA/CM⇔MA*AC=AN*CM・・・(1)
四角形ANCMは∠ANC=∠AMC=90°より円に内接する。
円周角の定理より∠ANM=∠ACM=(A+B)/2
また三角形ANDに着目して∠NAM=(A+B)/2であることから
三角形ANMは二等辺三角形で、AM=NM・・・・(2)
円に内接するのでトレミーの定理より
AN*CM+NC*AM=AC*NM
条件(1)のとき、上の式は
MA*AC+NC*AM=AC*NM⇔NC*AM=AC(NM-MA)=0(∵(2))
よってNC*AMが0になるということは点CがNに一致する。
という風に考えてみたけどこれもなんかあやしそうです。。
一応お暇なときに見ていただけますか?
>>421
よさそうですね。
トレミーの定理の式もC=Nのときに成立するのでいいと思います。
よく思いつきましたね。
ありがとうございます。漸くすっきりしました。
思いついたきっかけは、失敗した>>415の証明でして
結局N=Cとならなければ90度にはならないので、∠CANとかNCとか
そういった類の図形量が0にならなくてはならないなと思いつつ図を見ていました。
角度だとうまく扱えないので、長さ=0、つまり長さの積が0となるような関係をさがしつつ
色々いじってるうちにトレミーを思いつき・・って感じです。
>>423
NC=0にしようという方針は思いついてもその先が難しいです。
トレミーの定理は>>385 で使おうとしてうまくいかなかったのですが，
この問題では全く考えませんでした。
例の√の中身の処理ですけど結局模範解答も微分でした・・・
有名不等式とはいえ定数でおさえられなければ最大最小に利用することは難しい
ということがわかってよかったです。
>>425
やっぱりそうですか。
定数にならない場合，その不等式を別の場所でさらに利用する
…という使い方はあります。
(あまり例がないと思いますが)
そういう場合、等号成立条件が接点となり
グラフの上下関係がわかるという感覚ですか・・・
なにかの面積を求めたり評価するのに利用できそうですね。
>>427
結構難しい問題でないと，そういう使い方をする場面に出会わなそうです。
例を探しておきますね。
お手数おかけします
430 名前：宅浪生 [2008/06/03(火) 14:48] ａは定数とする。2次方程式x^2+2ax+2a^2-5=0が、１より大きい異なる2つの実数カイをもつとき、aの値の範囲を求めよ。
という問題なんですが、解説の途中で
αβー（α＋β）＋１＞０ （※α、βは２つの実数解）
という式が出てくるんですが、なんでこの式がでてきたのかが分からないんです；；
どなたか教えてください；；
>>430
これは結構大事です。
解説に判別式も出ているはずですが，これも必要です(☆参照)
解と係数の関係を習ったとき，これも一緒に習っていると思います。
2つの実数α，βについて「α，βがともに正の数 ⇔ α+β>0，αβ>0」…★
これを利用して，
「α>1かつβ>1」を「α-1>0かつβ-1>0」
とします。★に当てはめると
(α-1)+(β-1)>0，(α-1)(β-1)>0
となり，後者を展開すると，質問の不等式が出てきます。
これをα+β>2(これは正しい)，αβ>1としてはいけません。
α=3，β=1/2
とするとαβ>1ですが，βが1より小さいです。
☆実数条件がないと(α-1)(β-1)>0でも
α=2+i，β=2-i
のとき，この不等式が成立してしまいます。
点Aを中心とする斜交座標において点B(1.0).点C(0.1) 点K( b(a-1)/(a-b).0) 点L(0. c(a-1)/(a-c))とする
ただしa.b.cは1<a<3.0<b<1.0<c<1をみたすとする。
今三角形ABCの重心GがLK上にあるとき、⊿ABCの面積と⊿AKLの面積比は
どういう範囲にあるか求めよ
という問題を質問させてください。重心の座標は(1/3.1/3)だとわかりますし
面積比もa.b.cから立式することはできますが・・・
>>432
すみません，日付が変わるまで見てませんでした…。
今日(土曜)が塾の日ですか？
一応解けましたが検討中です。
朝までにはなんとかしてみます。
>>はい。今日の昼から塾です。でも急がないですので大丈夫です
いまサイクロイドの練習をしてますがこれもよくわからないですね・・・
θ回転すると3θとか4θとか、それ以前の孤長の対応がよく見えない･･･
>>432
解答です
http://sakuratan.ddo.jp/uploader/source/date83469.pdf
しかし複雑すぎる気がします。あと，aの範囲の3を使っていません。
ですから自信なしです。
>>434
サイクロイドは…具体例を挙げていただくと答えられるかもしれません。
あと，例のグラフ作成ソフトで描画させるといいかもしれませんね。
>>435
ありがとうございます。早速拝見します。
なにか意味ありげな座標なので快刀乱麻をたつが如く綺麗に解けそうな気がするんですけどね・・
サイクロイドのほうはなんとか解決しました。グラフ作成ソフトで孤長の対応を確認してみます
>>435
拝見しました。
⊿ABG=⊿BGC=⊿ACG=(1/3)⊿ABCなので
⊿ABC/⊿ALK=⊿ABC/(1/3)⊿ABC×{b(a-1)/(a-b) +c(a-1)/(a-c)}
一方、⊿ABC/⊿ALK=(a-c)(a-b)/bc(a-1)^2のような形になるのでこの式連立させると
ab+bc+ca-3abc=0という綺麗な式が出てきましたが、これと1<a<3でAK*ALの最大値絞れないだろうか?
と考えましたが結構難しそうですね。。
>>437
すみません，
> ⊿ABG=⊿BGC=⊿ACG=(1/3)⊿ABCなので
> ⊿ABC/⊿ALK=⊿ABC/(1/3)⊿ABC×{b(a-1)/(a-b) +c(a-1)/(a-c)}
ここがわかりません。
(もちろん1行目はわかります)
斜交座標において点B(1.0).点C(0.1) 点K( b(a-1)/(a-b).0) 点L(0. c(a-1)/(a-c))
ですから、AB:AK=1; b(a-1)/(a-b)=(a-b):b(a-1)となるので
AK;KB=b(a-1):a(1-b)とかけて、⊿AKGと⊿KBGは高さ共通だから底辺の比=面積比
と考えてました。同様に⊿ALGと⊿GLCも考えて出したような気がします
>>439
用事ができてしまったので返信が遅れます…すみません。
しかし，>>437 の等式からでも難しそうですね。
話は一旦変わりしまして、学校で罰になった問題があるのですが
どうして罰なのか理由が納得できない問題が2題あるので教えていただけないでしょうか
1.男子3人女子4人が一列に並ぶとき両端に女子が来る確率は?
男子をm、女子をg、*を任意とする。
「m|*****|g」という1つの配列に対して実際には「m1|m2.g2.m3.g3.g5|g1」のように
4×3×5!通り対応するので、両端の並び方だけを考えればよい
両端に来る人の並び方は N=7×6であり、これらは同様に確からしい
両端に女子が来る並び方はr=4×3通りなので求める確率はr/N=2/7
とかいて罰を食らいました。全ての人を区別しないと確率ではいけないからだという理由です
二題目は
4桁の整数を千の位がa.百の位がb.十の位がc.一の位がdとなるように作る
a≦b≦c≦dとなる整数は全部で何個あるか?
この問題を
「1≦a≦b≦c≦d≦9をみたす自然数a.b.c.dの個数」
⇔「0≦a-1≦b-1≦c-1≦d-1≦8をみたす自然数a-1.b-1.c-1.d-1の個数」
⇔「区別のつかない8個の品物と区別のつかない4つの棒を一列に並べる場合の数」
⇔(12!)/(8!*4!)=495
と書いて罰になりました。理由は計算がたまたまあってるだけといわれました。
どっちの理由もまったく理解できないのですが、なにか問題あるんでしょうか? 数値はどちらもあっています
>>441
おはようございます。
(ついさっき起きました)
両方とも僕が興味を持ったことのある問題です。
僕の結論は両方とも正答です。
これから僕の見解を書くのでちょっと待っててください。
順番が逆ですが，書きやすかったので，>>441 2番からです。
はじめに…⇔を使っているので，どの⇔がダメなのか聞きましたか？
もしそうやって聞いてないのなら，そう聞いてほしかったです。
(一番わかりやすいですよね？)
というわけで，そうやって検討してみましょう。
1つ目
> 「1≦a≦b≦c≦d≦9をみたす自然数a.b.c.dの個数」
> ⇔「0≦a-1≦b-1≦c-1≦d-1≦8をみたす自然数a-1.b-1.c-1.d-1の個数」
これはどう考えても正しいですよね。
3つ目
> 「区別のつかない8個の品物と区別のつかない4つの棒を一列に並べる場合の数」
> ⇔(12!)/(8!*4!)=495
これも正しい…というか重複組合せの問題の解法として教えそうです。
ですから問題があるとすれば，2つ目の
> 「0≦a-1≦b-1≦c-1≦d-1≦8をみたす自然数a-1.b-1.c-1.d-1の個数」
> ⇔「区別のつかない8個の品物と区別のつかない4つの棒を一列に並べる場合の数」
のはず。これをどうやって考えるかです。
僕はこれを，|の左側の○の個数として考えます。例えば
○|○|○○|○○○○| … a-1=1，b-1=2，c-1=4，d-1=8
○||○|○○○○○|○ … a-1=1，b-1=1，c-1=2，d-1=7
です。
よって正しい解答です。
場合の数の対応付けが書かれている，いい解答だと思いますよ。
場合の数では「合ってる風の間違った解答の×である理由」を説明するのが大事
だと思っているのですが，先生が間違ってるようですね…。
なお，僕なら，異なる9個の物から重複を許して4つ取る重複組合せだから
9H4=(9+4-1)C4=12C4
という説明を，数学が得意な生徒にしてみたい問題です。
>>443
ありがとうございます。学校の模範解答では
1≦a≦b≦c≦d≦9をみたす自然数a.b.c.dの個数
⇔「1≦a<b+1<c+2<d+3≦12をみたす自然数a.b.c.dの個数」
⇔「1～12の個数を4つ選び小さいほうからa.b+1.c+2.d+3としたときの場合の数」
としてありました。多分これ以外の対応付けはないと決め付けられていたのかもしれません。。
>>444
なるほど，そうかもしれませんね。
もう一度学校で聞いてみる価値がありますね。
>>441 の1番
全ての人(物)を区別するのは確率の原則で，それ自体はいい説明なのですが
●●○○○から同時に2個取り出すとき，●●となる確率は？
を先生は
2C2 / 5C2
で解きますか？それとも
2P2 / 5P2
で解きますか？
と聞いてみたらどうでしょう？
(Cで解きますよね？)
これでもダメと言いそうですが，これも対応付けを利用してますよね。
以下，余談です(余談の方が長い)。
これと数値が違うだけの問題をテストに出し
4C2 / 7C2
とだけ書かれた解答がありました。同じ数値になるけどこれは×…と思ったのですが，
一般の数値の場合(男子m人，女子n人)でも成立したので20分の長考後，>>441 の理由が
わかりました。
学力が全体的に低いので，できるだけ部分点をあげたかったので○
…にしようとしたのですが約分してなかったので1点減点しました。
(レベルはお察しください…。)
問題があるとすれば，
男子がmなら女子はw
女子がgなら男子はb
とすべきだった…ですかね？
>>446
積の法則において順序を考える必要がないものがk個あるときはk!で割って
別々のものとしてカウントしていたものを1つのものにまとめるというイメージがあるので
●●○○○から同時に2個取り出すというときには、自分なら組み合わせで解かずに2P2/2!/5P2/2!で考えるかもしれません(笑
まぁそれは結果的に2C2 / 5C2を考えていることとイメージとしては同じですが。
一度先生にこの例を持って直談判してきます
>男子がmなら女子はw、女子がgなら男子はb
はっ・・・知らないうちに男女差別してましたorz
>>447
●●○○○
の問題は，教科書ではCを使っていると思います。
(だから書きました)
同一視の仕方(対応付け)が正しいなら正答のはずですよね。
学校でどうなったか教えてくださいね。
眠いのでまた寝ます…。
未解決の問題はしばらくお待ちください。
>>432の問題なんですけど
b(a-1)/(a-b)=α、c(a-1)/(a-c)=βとする。
0<c<1.0<b<1.1<a<3より0<α<1.0<β<1でαβ≠0
また、AK↑=αAB↑、AL↑=βAC↑と書ける
AG↑=(AB↑AC↑)/3=(AK↑/3α)+(AL↑/3β)
G.K.Lは一直線上にあるので1/3α+1/3β=1 よって1/α+1/β=3
0<α<1.0<β<1とあわせて、1<1/α<2. 1<1/β<2となる
ここで、⊿ACB/⊿ALK=(AC/AL)(AB/AK)=1/AKAL=1/(αβ)=1/α(3-1/α)=-(1/α-3/2)^2+9/4
1<1/α<2. 1<1/β<2より2<1/(αβ)=⊿ABC/⊿AKL≦9/4
となったんですけどこんな感じの解答ありでしょうか?
>>449
すばらしいです。
恐れ入りました。
問題文の(置き換える前の)αとβはどこから出てきた式なんでしょうね。
わかったら教えてください。
ありがとうございます。
課題を提出するときに例の数値の出所を聞いてみますね。
186 名前：名無しさん [2008/02/11(月) 07:18]
何を居丈高になっているんだ？
馬鹿者が。
誰も見落としもしていないし、お前が無能であることには何の変わりもない。
「勉強」の何たるかを一度も真剣に考えたことのないやつがなにをえらそうに人に指図しているんだ。
おまえのようなうす馬鹿には恥を知れといってもムダなのはわかっている。
永遠に消えてなくなりなさい。
305 名前：名無しさん [2007/08/19(日) 23:55]
「頭が切れる」と学力はイコールではないが無関係ともいえない。
東大模試で点数一桁とか、センターで平均に達しないとか、法政すらしっかり落ちるというのは学習障害のレベルだよね。
それでも「頭が切れる」という根拠はどこにあると思っているんだろう。
325 名前：名無しさん [2007/09/10(月) 23:20]
だからさあ、法政すら合格できないバカが何をいっぱし能書きこいてるの、という素朴な疑問に答えてないんだよ。
答えられないだろうけどね。
299 名前：京医 [2008/05/19(月) 00:01]
独学っすか？？・・すごいな。まさか大検出身とか？でも言いたくなさそうなので
これ以上の詮索は止めときます。
あと290の馬鹿に一つだけ共感なんすけど女子高生とのメール交換は
拒否したほうがよかったと思いますよ。
良いスレ頑張って下さいな！！俺はこれからちょっと課題やりますんで
落ちますね。さいなら～～
自然数kが奇数のときP
455 名前：名無しさん [2008/06/10(火) 16:05] なんか切れてしまったのでもう一度
P=Σ(k=1.3.5...31) (2k+1)/{6k(k+1)}
Q=Σ(K=2.4.6.8...30) -(2K+1)/{6k(K+1)}
と書くときP+Qの値ってどう計算すればいいでしょうか?
質問です
1,2,3,4の中から３つの数を選んで３桁の数をつくるとき，出来た３桁の数
の全ての和は？
だれか教えて下さい
>>455
Σの中身の式が(符号は別として)
(2k+1)/{6k(k+1)}=(1/6){1/k + 1/(k+1)}
なので，これを使って
P= (1/6){(1/1 + 1/2)+(1/3 + 1/4)+・・・+(1/29 + 1/30)+(1/31 + 1/32)}
Q=-(1/6){(1/2 + 1/3)+(1/4 + 1/5)+・・・+(1/30 + 1/31)}
より
P+Q=(1/6){1+1/32}=11/64
となります。
>>456
数は全部で4P3=24個あります。各桁に出てくる1，2，3，4は現れるので6回ずつ足すことになります。つまり，
123
124
・・・
432
を縦に足すと，どの桁も
1×6+2×6+3×6+4×6=(1+2+3+4)×10=60
になります。よって
60×100+60×10+60×1=60×(100+10+1)=60×111=6660
となります。
各桁の期待値が(1+2+3+4)/4=5/2なので
(5/2)×(100+10+1)×24
としても同じです。
191さん
アクシデントが起きてアドレスが分からなくなってしまいました。
またメール送ってくれませんか？
a.b.c.dを素数として
{(a^3)b(c^3)-d}/{(a^2)(b)(c^9)}という形が出てきたんですが
この形から{(a^3)b(c^3)-d}と{(a^2)(b)(c^9)}は互いに素であるといえますでしょうか?
整数はどうもよくわからない・・・
>>460
今見たばかりなのですが，反例がありそうな予感…。
何かの問題の途中ですよね？
複雑な式なので，それを回避する方法がありそうな気がします。
なるほど回避ですか・・ もう少し考えて見ます
463 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/06/11(水) 00:34] >>462
「意地でもこの方針」とか「挑戦してみたくなった」というのもアリですが
さすがに複雑すぎだと思います。
東工大の問題ですか？
もしそうなら，そこまで大変でなかったはずです。
出展は書いてないので良くわからないですけど
まぁなんとかなりそうなので大丈夫です。
>>465
3a=b^3，5a=c^2が出てくるなら東工大の問題(か改題)のはずです。
もしわからなかったら聞いてください。
(僕の予想通りなら問題文は書かなくて大丈夫です)
↑
お前ネットしすぎ。
そんぐらい先生に聞けよ。
お伺いしたいのですが
[(1*2)/10]+{(3*4)/10]+{(5*6)/10}+....[n(n+1)/10]みたいなガウス記号の和って
スパッと計算する方法ありますか? 別解考えていてこのガウス記号の和を一つずつ地道に計算していったら
解答と一致したのですが、一つずつ計算していくのはあまりに分が悪いですし。。
>>468
特別な場合にはあるかもしれませんが，一般の場合にはないはずです。
－ｒ^0って１ですか？－１ですか？
471 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/06/13(金) 00:14] >>470
r≠0のとき-1
r=0のときは定義されません。
数学３の積分の問題で、
Σ上端ｎ、下端ｋ＝１、１／kの２乗ってどうやって求めるのですか？？
教えてください
。
>>472
高校範囲の知識で求められるらしいということを聞いたことありますが
相当難しいと思います↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%82%BC%E3%83%AB%E5%95%8F%E9%A1%8C
>>472
書いてある式が数IIIの積分でなく和（∑計算）なんだが、
何か勘違いしてないか？
仮に和（∑計算）で正しいとして、「k=1からn」の和では
高校の範囲どころか全く無理。
n->∞ならば、>>473の人のリンク先を参照。
高校の範囲で一番楽に証明するには、複素数のde Moivreの公式（これは帰納法で示せる）と
n次方程式の解と係数の関係と、0<x<π/2でsin(x)<x<tan(x)が成立するという数IIIの不等式を
組合せれば示せる。
まあ、これだけ書いても意味不明だろうけどｗ
>>474
有限だったんですね。失礼しました。
不等式の証明でその式が出てきたので和が求まると
思ったのかもしれませんね。
というわけで>>472 さんは問題をちゃんと書いた方がいいです。
∫(0から1) e^(x^2)dx<e-1を示せ
とか
∫(0からπ)e^(cost)dt≧5π/4 を示せ
とか
2/3<∫(0から1) e^(-x^2)dx<π/4を示せ
とか
log2≦∫(0から1) 1/(1+x^2) dx≦1を示せ
みたいな問題がとても難しく感じるのですが、この辺の不等式を証明するのに
利用すると便利な考え方ってないでしょうか?
結局[0.1]で積分するとe-1になって、しかもその区間では被積分関数より大きい関数ってなーんだ?
っていう問題なんでしょうけど、ちょっと誘導がないと厳しいように感じます。
慣れの問題だといわれましたが、何十題も類題解いていれば見えてくるんでしょうか?
>>476
考え方はわかっているようですね。
誘導なしの場合は評価する数(不等式の両端の数)が
どこから出てくるかを考えます…って当たり前ですかね。
(log2なんて怪しすぎますよね)
あとはその区間だけで成立すればいいというのを忘れない
ようにしましょう。
式の評価に関する感覚(グラフの形・定積分の計算)を
身につけるための問題という感じがします。
高校の数学の点数があがりませどいしたらよいでしょう
誰かおしえてくれませんか？
>>478
学校のテストでいい点が取れないという意味ですか？
もしそうなら担当の先生に相談するのが一番いいと思います。
配布されている副教材(問題集)があると思うのですが，どの問題を
解いたらいいのかなどは担当者に聞くのがいいです。
授業との関連もありますしね。
勉強方法の相談については
http://study.milkcafe.net/soudan/
の方がいいのかもしれません。
(僕は見てないのでわかりません)
数学の参考書について質問なんですが。
大数の参考書についてなんですが、「解法の探求１」をやりたいんですが
レベル的にはどれぐらいなんでしょうか？？
ちなみに京大経済理系受験を志望しているものです。
同様に解法の探求・確率にも教えてください。
>>477
>評価する数(不等式の両端の数)がどこから出てくるかを考えます…
これが難しいんですよね・・
∫(0から1) e^(x^2)dx<e-1とかだと[0.1]において、x^2≦1だから、e^x^2≦e^1=e
って感じで大胆に被積分関数の一部を大きく定数化してみてもうまくいきませんからx^2<xとみて、
e^x^2≦e^xを積分しないといけないとか・・その辺の感覚があまり自分の中に芽生えていないみたいです。
>>481
横からだけど…、
∫(0から1) e^(x^2)dxや∫(0からπ)e^(cost)dtなんかは
まず高校の範囲では積分計算できないことに気づかないと
できもしない計算で時間を無駄にすることになるので、
「いろいろな積分計算に触れて」、どういう積分だったら計算できるか
被積分関数をどう変えたら積分計算できるか、などの感覚を
身につける必要があるでしょう。
もっとも、∫(0からπ)e^(cost)dt≧5π/4は誘導なしだとつらいと思いますけど、
このレベルの不等式なら、大抵は誘導がついてると思います。
（というか、普通は誘導がついていても十分難しいと感じるかも）
>被積分関数をどう変えたら積分計算できるか、などの感覚を身につける必要がある
なるほど・・ただ与えられたドリル等で積分計算するだけではなくて
積分できない例も見て、瞬時に線引きできるようにしておく必要があるんですね。。
>>480
レスがつかないので…。
答え方が難しいのですが，易しすぎるということはないと思います。
好きなテーマだけ勉強するというのもアリだと思います。
すいません、、レスがつかないのでってどういう意味ですか？？
ネット初心者なもんで
解法の探求２もどうようですか？？
>>485
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%82%B9
を読んでください。
誰も返信しなかったので答えたという意味です。
ここは解法についての質問を書く場所なので返信がないのは仕方ないと思います。
ここで聞いているということは本屋で立ち読みできないということでしょうから，
「解法の探求」で検索して評判を見てみるといいと思います。
解法の探求2も確率と同じ感じで，分野別の参考書でこれ以上踏み込んでいるのは
ないと言っていいと思います。
全部はやりきれないと思うので必要な部分を選んで取り組むのが一番いいと思います。
nを2以上の自然数とする。∫(1～n)logxdx<log(n!)<∫(1～n+1)logxdxを示せ。
またlim(n⇒∞){(n!)^(1/n)}/nを求めよ
という問題なんですけど不等式を示す誘導を無視してan=(n!)^(1/n)}/nとおくと
log(an)=(1/n)Σ(k=1～n){logk-logn}=(1/n)Σ(k=1～n){log(k/n)}
ここでlim(n⇒∞)log(an)=∫(0～1)logxdx=[xlogx-x](0～1)=log1-1=-1
よってlog(an)⇒log(1/e)なので、logの連続性よりan⇒1/eという区分求積法を使った別解考えてみたのですが
これはOKでしょうか?
解答の数値はあっています。
>>487
眠いので答えられません…すみません。
極限の問題だけということですよね？
そうです。極限の問題だけです。
490 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/06/15(日) 22:00] >>489
よさそうですけどね。
起きて誰も答えてなかったら考えてみます。
おやすみなさい…。
>>487
横からだけど…、
∫(0～1)logxdxという積分は、積分区間の端っこx=0が
真数条件に引っ掛かって定義域外なので、一応、高校の範囲外になってます。
実際、積分計算で、不逞積分x\log x-xにx=0を代入することはできません！
だから、この方針をとるのであれば、∑計算のk=1の部分だけ分けて考え
(1/n)Σ(k=2～n){logk-logn}=(1/n)Σ(k=2～n){log(k/n)}
のn⇒∞での極限を区分求積法でlim(n⇒∞)∫(1/n～1)logxdxに帰着させれば
一応は正しく計算できます。
（やや、これでも苦しいですが…）
ちなみに、∫(0～1)logxdxのように積分区間の端っこが定義域外の定積分を
広義積分と言います。
変な誤変換が…
「不逞積分」->「不定積分」
>>491
ありがとうございます。
>積分計算で、不逞積分x\log x-xにx=0を代入することはできません！
いわれて気がつきました。どうせ0かけるから0になるに決まってると思い込んでいました。
>∫(0～1)logxdxのように積分区間の端っこが定義域外の定積分を
>広義積分と言います。
そういう積分もあるんですね・・難しそうです。。
α＝35/27+√-4/3、β＝35/27-√-4/3と置くと、
３乗根√α+３乗根√β-4/3の値はどうなるのでしょうか？
>>494
式はそれで正しいですか？
ルートの中身が負の数なんですか？
>>493
∫(0～1)logxdxだったら、lim(h⇒+0)∫(h～1)logxdxのように
極限をとるだけだから、大して難しくないですよ。
∫(0～∞)e^(-x)dxだったら、lim(a⇒∞)∫(0～a)e^(-x)dxといった感じですね。
＜495
√-4/3→√4/3ｉ
-√-4/3→-√4/3ｉ
にしたほうがいいんですか？
>>497
いえ，確認でした。
虚数の3乗根の和ってことになりますよね？
高校の範囲の問題ですか？
はい、そうです。
500 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/06/18(水) 05:28] >>499
1になったのですが，現行課程の知識では説明できません。
もう少し考えてみます。
＞500
どうやって1になったのですか？
>>494
横からですが…
複素数の３乗根は（というか、平方根すら）、普通は高校の範囲外です。
（新カリキュラムどころか、旧カリキュラムであっても）
だから、もし学校で出題されたとすれば、出題者は数学をまともに
勉強したことがないか、もしくはよほど意地悪いかですね。
これだけでは何なので、簡単にだけ。
α、βの3乗根を仮にu,vと置くと、
u^3=α=35/27+√(-4/3)、v^3=β=35/27-√(-4/3)で、
この時、求めるべき内容はu+v-4/3。
ここで、u^3+v^3=70/27、u^3v^3=(35/27)^2+4/3=(13/9)^3より
uv=13/9なので、あとはu^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)と変形すれば
u+vに関する3次方程式(u+v)^3-13/9(u+v)=70/27が得られますので、
これを解けばx=7/3（←これが>>500の答1）と、あと２つ有理数解が得られます。
残りの２つの解は、ご自分で計算してみてください。
一応、表面的には、対称式u+v,uv,u^3+v^3の計算と、３次式の
因数分解の計算問題ではありますけどね。
上の補足。
実際には、複素数の範囲で３乗根は１つに決まらないので、
「３乗根√α+３乗根√β」と書かれても、値は１つに決まらず
３＊３＝９通りの答があります。
上では、学校で本当に出題されていた場合を考えて
uv=13/9としましたが、本当はuvの値もあと２通りあるので
u+vに関する３次方程式もあと２通りあり得て、u+vの値はちゃんと
９通り出てきます。
その内の３つが>>502に書いたものですが、残り６つもマジメに調べれば
案外簡単に求まります。
このような事情があるので、少なくとも実際の入試問題に
複素数の３乗根が（というか平方根すら）出題されることはまずありません。
>>502で書き間違いorz
「x=7/3」は「u+v=7/3」の書き間違いです。
ついでに、９通りの答のうち、実数のものが３つで
それが>>502に書いた３通りです。
なお、背景には３次方程式の解の公式がありますが、
その場合には、uvの値が１通りに決まりますので、このように
９通りも答が出るような面倒はありません。
>>502
> (u+v)^3-13/9(u+v)=70/27
さすがにその3次方程式は大変なので
x=u+v-4/3
として計算した方がよさそうです。
(係数が全て整数になるので)
3乗根については√を使って書いているので，原題は1/3乗の意味だと思います。
よって解が1つになると…。
上の置き換えをして3次方程式を解くと
x=1，-2，-3
なのですが，そこから1と特定するのはどうやって示したらいいですか？僕は，
(旧課程で習う)偏角を考えればαの偏角が鋭角なのでuの偏角も鋭角。
u+vが実数なのでvはuの共役複素数。よってu+v>0なので適するのはx=1のみ…と考えました。
(だから「現行課程の知識では説明できません」と書きました)
複雑な実数の1/3乗の和の問題は入試問題で見たことあるんですけどね…これはダメでしょう。
＜505
ｕ＾3+ｖ＾3＝（ｕ+ｖ）＾3－３ｕｖ（ｕ+ｖ）で
ｕｖ＝13/9であると、
-3*13/9で（ｕ+ｖ）＾3-13/3（ｕ＋ｖ）＝70/27
になってしまうのですが？
>>506
そうですね。
13/3で合ってますよ。
xy平面上の3点O(0.0).A(6.2).B(1.3)に対してOC↑=sOA↑+tOB↑で定める
s.tがs≧0.t≧0.1≦2s+t≦2の条件を満たしながら変化するときCの存在する範囲をFとする。
Fに属する2点P,Q(P=Qも可能)について内積OP↑・OQ↑の最大値と最小値を求めよ
2005関西学院大学商学部の改題のようですが、この問題を質問させてください。
お伺いできるのが今日の夜になってしまうので恐縮なんですが・・・
よろしくお願いいたします。
>>508
急ぎで数値のみ…。
最大値40
最小値8
かな？
>>509
最小値は6でした。
図形的解法を考えていますが思いつきません。
もう少し考えてください。これは簡単ですよ。
名無し(191) ◆fnVdQViY さんなら自力で思いつくはずです。
>>511
いや，思いつきません。
わかるのでしたら解答書いてください。
＜507
ありがとうございました。
とても参考になりました！
この問題簡単なんですかorz
ぶっちゃけた話、Fの領域まででお腹いっぱいに・・
>>505
>(旧課程で習う)偏角を考えればαの偏角が鋭角なのでuの偏角も鋭角。
そんなローカルルールは、旧カリキュラムにもないと思います。
>u+vが実数なのでvはuの共役複素数。よってu+v>0なので適するのはx=1のみ…
>>494の問題には、u+vが実数という条件はないと思いますが。
まあ、質問した人はそれなりに納得されたようなので、このくらいで。
>>514
内積の最大値は|OC↑|が最大になるようにP，Qをとればいいので簡単
…でいいと思います。
>>515
> そんなローカルルールは、旧カリキュラムにもないと思います。
たしかにそうですね。
> >>494の問題には、u+vが実数という条件はないと思いますが。
ないですね。こちらは
> u+vに関する3次方程式(u+v)^3-13/9(u+v)=70/27が得られますので、
> これを解けばx=7/3（←これが>>500の答1）と、あと２つ有理数解が得られます。
これからいえることです。
打ち切りのようですので一応書いておきますが
> 複素数の３乗根は（というか、平方根すら）、普通は高校の範囲外です。
z^2=iとなるzを求めよというのは今でもありますよ。
>>516
打ち切りと書いておいて何ですがｗ
z^2=iを解くような単純な計算問題は未だにありますね。
その場合でも、偏角が鋭角の場合だけを答えさせる問題はないはずです。
>>517
> その場合でも、偏角が鋭角の場合だけを答えさせる問題はないはずです。
それは僕の勘違い(理解不足)なので何度も書かなくてもいいですよ。
1/3乗だから値が1つに決まるので鋭角だと決めつけてしまったわけです。
示せませんが僕は解が1だと思っています。
z^2=iみたいな問題は係数比較で解けるので，方程式(平方根)という
言葉を出さずにすむので今後も出題可能ですね。
a=π/5のとき
cosπ/5の値を求めよ。」
これはどうやって求めればいいんでしょうか。
教えてください。
>>510
最小値が(P=(3.1)とQ=(1.3)等のとき)に6になって、一見すると
たしかに最小になりそうなんですが(中点を取って調べると8ですし。)
これが最小だと論証するためにはどうすればいいでしょうか?
C(3.1)とB(1.3)を結ぶ線分BCの中点(2.2)をMとしてP=Q=MのときOM^2=8
ここから左右に少しずれると、P.Qの長さが増えてかわりに角度が開くので
PQの増加分がcos減少分に負けることが示されればいいのですが、ちょっとどうしていいのか中々･･
二等辺三角形と垂心の関係から何かいえると面白そうなのですが。。
>>519
記号を変えますが
θ=π/5
とすると
sin2θ=sin3θ
となります。sin72°=sin108°だからです。
2倍角の公式と3倍角の公式より
2sinθcosθ=3sinθ-4sin^3θ
sinθ≠0より両辺をsinθで割り
2cosθ=3-4sin^2θ
2cosθ=3-4(1-cos^2θ)
4cos^2θ-2cosθ-1=0
cosθについての2次方程式を解き
cosθ=(1±√5)/4
cosθ>0より
cosθ=(1+√5)/4
となります。
>>520
OC↑でCを使っているので，点(3，1)はCでなくDの方がよさそうです。
線分BD上にP，Qがあるときに最小になる点がある…はよさそうですね。
OP↑=a(1，3)+(1-a)(3，1) (0≦a≦1)
OQ↑=b(1，3)+(1-b)(3，1) (0≦b≦1)
とすると
OP↑・OQ↑=10-4a-4b+8ab=(8b-4)a-4b+10
となり，a=0，b=1で最小値6となります。
もちろん対称式なのでa=1，b=0でも最小になります。
>>522
ありがとうござます。重ね重ね質問なんですが
>線分BD上にP，Qがあるときに最小になる点がある
これを精密に言おうとするとどうしたらいいでしょうか?
P.Qの中点をMとしてOP↑・OQ↑=(OM)^2-(PQ/2)^2になるので
OMが最小でPQが最大のときが内積最小になるのはわかりますが
OMがでかくなればそれに応じてPQも大きくなることが出来るので
なんというか座りが悪いんですよね・・・
なんとなくはわかるんですけど。。
>OMが最小でPQが最大のときが内積最小
ここの書き方が変ですね・・・OMができるだけ小さいときそれに応じてPQが一番大きいとき
としたほうがいいのかな・・
>>523
いや，もっと簡単に
同一直線上に
O，P，P’
O，Q，Q’
がこの順にあると
OP<OP’，OQ<OQ’
より
OP↑・OQ↑<OP’↑・OQ’↑
です。なす角が一緒なので。
みなさん勉強など集中したいときは、これを聴いて作業してください！
集中できますよｗ
http://www.nicovideo.jp/watch/sm1821689
ああ、なるほど！とてもわかりやすいです。
いま直線がy=1/3x～y=3xまでを動いているとき、この直線上に
O.P.P'と並んでいればOP<OP、同様にOQ<OQ'だからFの領域も考えて
BD上に点P、点Qがあるときが最小であるという感じですね
>>527
そうです。
書き忘れましたが，なす角が鋭角であることは断るべきでしょうね。
ありがとうございました。理解できました。
内積は苦手みたいなので、練習してみることにします
質問です
cosx=cos(x+π)
cosx=cosxcosπ-sinxsinπ
cosx=-cosx ←ココ
2cosx=0
cosx=0
という解法で矢印の部分になる理由が分かりません。
何か公式を使うのでしょうか？教えて下さい！
>>530
1つ上の行の
cosxcosπ-sinxsinπ
において
cosπ=-1
sinπ=0
だからです。
全ての正の実数x.yに対して
√x+√y≦k√(2x+y)が成立するような実数kの最小値を求めよ
という東大の問題なんですが、これをこのように考えました
まずx=1.y=4のときk≧√6/2となることが必要である。
k=√6/2のとき(√6/2)√(2x+y)-(√x+√y)=0を示してk≧√6/2ならばk√(2x+y)-(√x+√y)≧0
であることがいえれば十分性が保障されると思うので
(√6/2)√(2x+y)-(√x+√y)=0を示したいのですが、この√の引き算を微分とかしないで処理する方法
ってありますでしょうか?
PS いつぞやの確率の問題なのですが、無事マルがもらえたみたいです。
点に反映されてました。ありがとうございました。
>>532
> (√6/2)√(2x+y)-(√x+√y)=0を示したいのですが、この√の引き算を微分とかしないで処理する方法
イコールですよね？
成立しませんよ…例えばx=1，y=1
>>533
この問題ですか？↓
□□■ □■□ □□□
□□□ □□□ □■□
□□□ □□□ □□□
>>534
しまった，これは場合の数の問題でしたね。
>>532 については
[ みんなで難関大数学を攻略しよう！ ]
は読んでますか？
(ルートの範囲に注意が必要です)
>>534
>成立しませんよ…例えばx=1，y=1
あ・・本当だ。。何を勘違いしていたんだろう。。
>>533
同様に確からしい奴と対応の関係の問題です。>>441あたりから続いてるアレです
>>536
おお！あの問題でしたか。
正答じゃないと困りますよねえ。
マルになってよかったです。
>>535
こんなスレがあったんですか。
ざっと見た感じ
>√２ｘ＝rcosθ √ｙ＝rsinθ
これよりはy=2xtan^2θとおいて√はずしてしまったほうが簡単な気がします。
>√x/y＋１=u
これはどういう理由でこのように置かれたのかかなり興味深いです
>√x/y=tとおくと～(相加相乗)～
これはすごくうまいですね。僕なら微分に走ってしまいそうです。
>>538
僕は昔売ってた緑色のチャート(受験用の難しいやつ)で相加相乗の解法を知りました。
実は
(√6/2)√(2x+y)≧(√x+√y)
を示せばいいので2乗の差をとって0以上になることを示せばいいはずです。
引き算した後，相加相乗で簡単です。
この問題を予習していたときに
最初は必要性を求めて十分性でチェックしてみようと考えて失敗し次に
O(0.0).A(1.-1/√2).B(√2x √y)として√x+√y=OAOPsinθ(θは∠BOA)
≦OA*OP=(√6/2)(√2x+y)
と考えて答えを出したので、数式処理よりも図形的処理のほうが楽なように感じました。
あとはベクトルの内積(シュワルツの不等式)くらいですか・・
> (√6/2)√(2x+y)≧(√x+√y)を示せばいいので2乗の差をとって0以上になる
ありがとうございます。早速やってみます。
>>540
> 数式処理よりも図形的処理のほうが楽なように感じました
凄い解法ですね。
思いつきませんよ。
十分性のチェックは式のとらえ方の勘違いですかね。
相加相乗で驚くほど簡単に十分性も示されました・・・
なんか変な思い込みがあった感じです。。
図形的な解法はベクトルの外積の図形的意味を勉強していたので
そのときに出てきた恒等式がよく似た形をしていてなんとなく面積公式っぽいのが使えないかな
と思っていじってたらできた感じでした。
{(1/√2)(√2x)+√y}/{√(√2x)^2+(√y)^2}≦kで左辺をXY平面上の直線(√2x)X+(√y)Y=0と(1/√2.1)の距離
って考える方法も実は試してみたら出来たのですが、これは文字定数分離した後の式に
図形的意味がないかどうか考えていたらできた感じなので、実用的ではなさそうです
>>543
なるほど，そういう背景があったのですか。
> {(1/√2)(√2x)+√y}/{√(√2x)^2+(√y)^2}
これもよく思いつきますね…。
実際に応用が利く解法は割り算してxとyを1文字にしてしまう解法でしょうね。
他の問題で何度か使ったことがあります。
比を変数に取る方法は知識として知っておかないと気がつけなかったです・・・
一番オーソドックスで普遍的な解法みたいですから絶対身につけないといけませんが。。
>>545
それだけいろいろ思いつくと，模試のときにいろんな解法で解きたくなって
はまったりしませんか？
実は嵌るというより、上手い解法を探すことに気を取られるあまり計算力がかなり弱くなっていて、
どうしても避けて通れない計算でもチマチマ失点していくということがよくあります・・・
模試は数2の微積で計算ミスにより点を落としました。。
最近は毎日10分間、計算革命という問題集といて練習しているほか
和積積和等の有名な公式や19×19の九九までは積極的に覚えるように心がけています。。
一々筆算したり公式導いていると計算部分に費やす時間が長くなってきて
計算にかかる時間が長ければ長いほどミスする可能性が高くなることがわかったので苦肉の策です。。
>>547
問題集に答の数値がきれいでない問題が収録されているのには
計算力も付けろという意味があるのかもしれませんね。
計算革命は動画を見たことあります(立ち読みも)。
買ってませんが面白そうですね。
19×19は覚えなくていいと思います…もちろん覚えられたらその方がいいですが。
6^4=1296などを覚えてしまう方が実戦的かもしれません。
計算力の向上…いろいろ考えてしまいます。
誰がやっても面倒な計算
工夫することで労力が減る計算
解法を素早く適用する計算(積分・漸化式など)
この3つは排反事象(笑)ではないですが，3つ目は素早く解きたいものですね。
類上は結構覚えておきたいんですよね・・
2^10までと1～16の2乗くらいまでしかくらいしか覚えていないかも。。
コンビネーションなんかはパスカルの三角形で覚えやすいですけど
確率の問題では約分で消えちゃいますからあまり効果なさそうですし・・・
>誰がやっても面倒な計算
>工夫することで労力が減る計算
>解法を素早く適用する計算
次数下げなんかは工夫することで労力を減らす計算かな・・
あとグラフの形と変極点や極大点を結構よく覚えていて
計算せずにグラフ書いて最大最小調べてしまうとか工夫している感じですね。
絶対値つきの積分なんかでは原始関数をF(X)とかおいて最後に代入することで
計算ミスを防いだりするのもありますけどそれやっても大抵間違えますからやっぱり駄目だorz
>>549
次数下げはうまく使いたいですよね。
知識は十分にあるはずなので，計算の途中でチェックする…ですかね？
(複雑な変形の後は，前の式にちゃんと戻るか確認する)
それとあわせて式を丁寧に書くということをよく指摘されます。
積分では必ず積分区間をt=○～t=□と書けとか、商の微分では
先に型紙(A)'(B)-(A)(B)'/(B)^2を書いてから式を入れろとか・・・
数3ですと計算ミスによって態々積分できない積分にして首を絞めてしまっている
なんてこともあるので、かなり気をつけてはいるのですが中々難しいです
>>551
う～～～ん…まあ，そんなに簡単には解消できませんよね。
自分の計算ミスの傾向を知るように，と森毅の本に出ていた気がします。
疲れてきて嫌になってくるっていうのが一番の計算ミスの傾向かもしれない･･・
初心に帰ったつもりで楽しく計算できれば幸せになれそうですが。
>>553
> 疲れてきて嫌になってくるっていうのが一番の計算ミスの傾向かもしれない･･・
そうきましたか。
それに付け加え，寝不足でもミスしますよね。
僕も人のことは言えないので興味深い話です。
ではそろそろ寝ます。
やっぱり計算をよくしている人は，計算がうまいんだと思います。
長時間ありがとうございました。参考になりました。
557 名前：名無しさん [2008/06/25(水) 00:19] ６個の目が１２３４５６のさいころを２回降ったとき２回目にはじめて１のでる確率は５／６×１／６ですけど
６個の目が１．１．１．１．２．３とかのさいころを２回ふると２回目にはじめて１の出る確率って
２／６×４／６ってしてはだめですか？
>>557
いいですよ。
初めから約分してあった方がいいかもしれません。
＞初めから約分してあった方がいいかもしれません。
そうなんですか？
ぼくはこのような場合、さいころ六面のうちのって意味で、
わざと約分しないで書くのですが、今まで間違ったことしてましたか？
>>559
そういうのは自由だと思うので
「いいかもしれません」
と書きました。
ベクトルの応用の２直線の交点の問題です。
△ＯＡＢにおいて、辺ＯＡを２：３に内分する点をＭ、
辺ＯＢを４：３に内分する点をＮとし、線分ＡＮと線分ＢＭの交点をＰとする。
→ → → → →
OPをOA=ａとOB=ｂを用いて表せ。
この問題の、解答解説をなるべく詳しくお願いします。
>>561
教科書に出ていませんか？
数研出版の一番難しいやつならp35に出ています。
有名な問題なので参考書などにもよく出ていますよ。
質問です。 → → →
△ＡＢＣの３つの頂点Ａ，Ｂ，Ｃの位置ベクトルが，それぞれａ，ｂ，ｃ
であるとき，辺ＢＣの垂直二等分線のベクトル方程式を求めよ。ただし，
→
この直線上の点をＰ（ｐ）とする。
→ → → → 2 → 2
分かる方はなるべく早く教えて下さい。ちなみに答えは２ｐ・（ｂ－ｃ）＝｜ｂ｜－｜ｃ｜です。
すみません。おもいっきりずれてます。ずらして考えて下さい。
565 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/06/30(月) 10:49] >>563
線分BCの中点をM(m↑)とすると
MP⊥BC
なので
MP↑・CB↑=0
となります。
(p↑-m↑)・(b↑-c↑)=0 ★
ここで
m↑=(b↑+c↑)/2
なので★の両辺を2倍してからこれを代入する
(2p↑-2m↑)・(b↑-c↑)=0
(2p↑-(b↑+c↑))・(b↑-c↑)=0
2p↑・(b↑-c↑)-(b↑+c↑)・(b↑-c↑)=0
2p↑・(b↑-c↑)=(b↑+c↑)・(b↑-c↑)
よって
2p↑・(b↑-c↑)=|b↑|^2-|c↑|^2
となります。
座標平面上に中心A(-2.0)、半径1の円C1と中心B(4.0)と半径4の円C2があり
C1およびC2に外接する円の中心pの軌跡をCとする。C上の全ての点を含む
二次曲線の方程式を求めよ
という問題を質問させてください。97年の九工大の問題のようです
>>566
返信に時間が掛かります。
回答者がいなければ明日の今くらいに答えます。
>>566
横から失礼します。参考です。
(1)外接円の半径をｒ，P(x，y)として、円Ｃ1，Ｃ2と外接円の中心間の距離を考える
①(r＋1)^2＋(x＋2)^2＝y^2 ･･･ 外接円と円Ｃ1
②(r＋4)^2＋(x－4)^2＝y^2 ･･･ 外接円と円Ｃ1
(2)①②からｒを消去して、整理しx，yの関係式を求める
12(x－1)^2－4y^2＝27
●{(x－1)^2}/{(3/2)^2}－{y^2}/{(3√3/2)^2}＝1
双曲線【漸近線y＝±√3(x－1)，a＝3/2，b＝3√3】
(3)C1およびC2に外接する円の中心p(x，y)から、
x＜0として、xについて解き整理(分数は避けました)
6x＝6－√{3(4y^2＋27)}
●6x＝6＋√{3(4y^2＋27)}はＣ1，Ｃ2を内接
すみません。訂正です(円Ｃ1→Ｃ2でした)
誤 ②(r＋4)^2＋(x－4)^2＝y^2 ･･･ 外接円と円Ｃ1
正 ②(r＋4)^2＋(x－4)^2＝y^2 ･･･ 外接円と円Ｃ2
>>566
更に、横からだが…。
外接円の半径をrと置くと、C1およびC2の中心と外接円の中心Pとの距離は
AP=r+1,BP=r+4
よって、BP-AP=3(一定)なので、PはA,Bを焦点とする双曲線上を動く。
双曲線の中心はABの中点(1,0)で、これから双曲線の式は
(x-1)^2/a^2-y^2/b^2=1の形(a,b>0)
焦点A,B間の距離の半分が√(a^2+b^2)=3
2焦点A,Bからの距離の差が2a=3なので、a=3/2,b^2=27/4
故に、中心Pは双曲線(x-1)^2/(9/4)-y^2/(27/4)=1上を動く。
実際には、この双曲線の左側の部分しか動かないが、
「C上の全ての点を含む 二次曲線の方程式」とあるので
この双曲線上を全て動くかどうかの確認は不要のはず。
>>568の人の解答のように座標計算してもよいが、一般には
rを消去する時の同値性が面倒なので、既に同値性を内包している
２次曲線の標準形を利用する方が安全。
（もっともこの問では、逆を確認する必要がないので、座標計算してもよい）
>>567-570
ありがとうございます。いまから拝見します！
>>571
いやいや，>>567 は役に立ってませんよ(笑)
しかし，せっかくなので例のグラフ作成ソフト用のファイルをアップしました。
http://sakuratan.ddo.jp/uploader/source/date85497.txt
です。拡張子をfvwにしてから読み込んでください。中身はテキストファイルです。
開いたら下向きの三角形をクリックしてください。
zipにしてアップした方がよかったかもしれませんね。
ソフトは↓です。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA017172/
数学ⅡBで、コンピュータを受験された方、良い参考書あったら教えてください。
574 名前：名無しさん [2008/07/05(土) 17:35]テイラー展開とマクローリン級数について教えてください
575 名前：名無しさん [2008/07/06(日) 19:54]最近名無しさん来ないね
576 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/07/06(日) 20:10] >>575
僕のことですか？
見てますよ。
>>573 については僕は受験してないので答えませんでした。
>>574 は漠然とし過ぎで何とも…検索した方がいいと思ったので答えませんでした。
y=e(zx乗)cos2z・lｎ27r （ｚｒｘは変数）
の第四次偏導関数を求め、第ｎ次導関数について
一般化せよ。
という問題についてもし解答できたら教えてください。
お願いします
>>577
4次偏導関数ってどの変数についてですか？
>>576
受験してないってことは名無しさんは中卒か高卒ってことですか？
587の質問って馬鹿じゃない？？
581 名前：名無しさん [2008/07/08(火) 01:41]答えは１６通りあったけど一般化できるのか？？
582 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/07/08(火) 02:01] >>581
15通りではないですか？
奇数になることはないでしょ？？
答え同じでも微分した変数が異なれば一緒とはみなせんよ！
>>583
僕は微分をしてません。
変数が3つで4次編導関数なので
3H4=15
で15通りだと思いました。
(－１)＾ｎ n→∞のとき振動じゃないですか～。
そしてＡn→０（n→∞）で
（－1）＾ｎ*An→って不定形じゃないんですか？？
教えてください。
>>584
いや、2の4乗通りに決まってるだろ？？
>>586
だから偶数ってことですか。
16個とはいいませんが，1つか2つ書いてくれませんか？
ってか偏導関数知ってるの？基本さえ知ってれば2の4乗通りになることは
自明だが・・
だから偶数ってことですか。
16個とはいいませんが，1つか2つ書いてくれませんか？
↑この質問は偏導関数知らないとしか思えない。書いても
偏導関数知らなきゃ意味なくない？？
紙に書くなら楽だけどここに載せるのは記号探すから面倒だ。
まして偏導関数知らん人に書く気は起こらんよ・・
まず、あなたの１５通りとやらを載せてくれ、
その記号をコピーして俺が正しい答え教えてやるよ。
もし、あなたが記号の使い方すら間違ってたら偏導関数知らないってことで
この話はなしだ。
>>589
> 記号探すから面倒だ
がよくわかりませんが，
∂y/∂x=y,x
というのを見つけました。2次以上の書き方はわかりません。
∂^2y/∂x∂z=y,xz
ですかね？
> もし、あなたが記号の使い方すら間違ってたら偏導関数知らないってことで
> この話はなしだ。
こういう掲示板でよくある展開ですが，記号の使い方(表記)は指定してくれてもいいんじゃないですか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%BE%AE%E5%88%86
の「高階偏導関数」に出ている「クレローの定理」により
3^4=81個のうち同じものが出てくるので3H4=15個と考えました。
2^4でなく，3^4ではないのですか？
よくわかってらっしゃるようなので，元の質問者>>577
に答えてあげてはいかがでしょうか？
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なんか名無しさんの無知を晒しちゃったね。
時には分からないことは分からないと言える勇気も必要だと思う。
横からだが…
答える気にならない質問というのもあるもんだ>>577
名無し（１９１）さんは、まだ良く反応してる方だと思うよｗ
偏微分の順序を区別すれば3^4通り、
結果的には偏微分の順序によらない結果になるから15通りというのは
正しいが、これを書き出せというのは拷問でしかないなｗ
三角形ABCの内部に点Pをとったとき
PA^2+PB^2+PC^2が最小となる点が重心であることを示すには
どんな考え方を言えばいいでしょうか?
すいません。補足します
座標による成分計算で求めることは先ほど出来たのですが
できたら幾何的に導出する方法を質問させてください。
すいません。誰か>>585答えてくれる方いませんか？？
598 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/07/11(金) 00:09] >>597
（－1）＾ｎ*Anですが
{（－1）＾ｎ}*An
という意味ですか？
(だと思うので↓)
これの絶対値をとった数列を考えます。見にくいですが
｜{（－1）＾ｎ}*An｜
です。
｜{（－1）＾ｎ}*An｜=｜An｜
とAn→0 (n→∞)より
｜{（－1）＾ｎ}*An｜→0 (n→∞)
です。よって
{（－1）＾ｎ}*An→0 (n→∞)
となります。
他のことについては明日書く予定です。
>>594
分かるんでしたら、あなたが答えてあげればよろしかったのに
>>598
ありがとうございます。
わかりやすくて助かりました。
勉強頑張ります。
>>599
だから、答える気にならない問題（＆質問の仕方）だと
>>594に書きました。
申し訳ないが、気が向いた時や、回答がやや不適切に感じる時
ぐらいしか反応する気はありません。
>>598
{（－1）＾ｎ}*Anだと、余計意味不明になりませんか？
数列{（－1）＾ｎ*An}か、一般項（－1）＾ｎ*Anなら意味がわかりますけど。
>>595
ついでに考えてみたけど、成分計算するより位置ベクトルでの
計算に帰着した方が楽だと思います。
幾何的な解法となると、パップスの中線定理およびそれを一般の
内分点の場合に拡張した結果を使って天下りで示す方法はあるけど…、
あまりキレイな方法ではないｗ
>>594
> 偏微分の順序を区別すれば3^4通り、
> 結果的には偏微分の順序によらない結果になるから15通りというのは
> 正しいが、これを書き出せというのは拷問でしかないなｗ
やっぱりそうですよね。
元の質問者が本当に知りたいのか，冷やかしで書いているのかがわかりませんが，
lｎ27r
をGoogleで検索したらいくつかヒットしたので意味のある式なんだろうとは思いました。
(ｎは全角…ln27rだとここしかヒットしませんね)
>>581 で16通り「あった」と書かれていたので，実際に計算をしたのだと思うので
結果が気になっています。
>>601
> {（－1）＾ｎ}*Anだと、余計意味不明になりませんか？
> 数列{（－1）＾ｎ*An}か、一般項（－1）＾ｎ*Anなら意味がわかりますけど。
-1の指数部分がどこまでかを確認しました。
{}を使うときは
数列{a_n}
のように断るはず…断ってない例を見たことありますか？
>>585 も{}を使ってないので{}が数列を表す記号という恐れはないと思います。
>>595
僕も位置ベクトルを利用するのがいいと思います。
学校や塾で問題として出されたのなら，そういう意図ではないかと。
(例えば)Aを始点にして平方完成すれば示せます。
ベクトルの大きさの2乗の式をばらして，内積が出てきて，
もう一度ベクトルの大きさの2乗の式に変形できるか？
って問われているのかもしれません。
>>596
幾何的って成分で計算する以外って意味でとらえました。
さすがに作図では無理そうです…。
>>593
>>459 と同じ人でしょうか？
(以前の真希さんと同一人物だと思っている人はいないでしょう)
有名コテハンの方でしょうか？
数学の質問，待ってますよ。
いつまで答えられるかわかりませんが。
なるほど、指数部分の確認のためですか。
一応、ツッコミを入れた手前、手近な数学Ｂの教科書を確認してみましたが
東京書籍、旺文社、啓林館の３種類で、旺文社と啓林館の数学Ｂの教科書では
「数列a_1,a_2,…,a_n,…を{a_n}で表す」と表記があり、例題の解答中でも
数列を単に「{a_n}」と書いてある箇所が何ヶ所かはありました。
まあ、教科書ですから、大抵は丁寧に「数列{a_n}」とは書いてありますけどｗ
数列を扱ってる時に中括弧を用いるのは、誤読の可能性が低いとはいえ
ないとは言い切れない気がします。
>>595
その後も、少しマジメに考えてみましたが、３点A,B,Cでなく
一般のn個の点A_1,A_2,…A_nに拡張する場合のことなどを考えると
やはり位置ベクトルを用いる解法か、パップスの中線定理（＋その拡張）を
用いる解法が、拡張した場合にもそのまま使えて良い解法であるような気がします。
>>601
>>604
位置ベクトルの方法、さっそく試してみます。
余力があったら中線定理の拡張！？の方法も考えてと思います
条件のかつとまたはに関して質問なのですが
「A∨B」∧「C∨D」を図示したいんですけどこういう場合は
「A∧C」∨「A∧D」∨「B∧C」∨「B∧D」と分解できるんでしょうか?
ちょっと条件の分配法則の名前を度忘れしてしまって、調べようにも調べられないので困っています
ドモアブルとかそんなような定理だった気がするんですが、ドモアブルで調べたら複素数がでてきました・・
>>609
どうぞ↓
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%AB%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
>>607
数研出版の教科書では「数列{a_n}」と書いた後に「{a_n}が…」みたいに書いている所がありました。
文英堂の教科書では「数列{a_n}が…」のあとに「a_n={…}^2」のように{}を使っている所がありました。
漸化式を与え，一般項が「a_n={…}^2」になることを示せという問題です。
まあ，あまりいい感じはしませんね。
>>608
一応、中線定理の一般の内分点への拡張を書いておくと、
三角形ABCで、BCをm:nに内分する点Pに対して
n(AB)^2+m(AC)^2=n(BP)^2+m(CP)^2+(m+n)AP^2
が成立することです。
証明は、位置ベクトルでも、余弦定理でも、
好きな方法で簡単に示せます。
>>609
わからない時は、もう少し単純な場合を考えて、たとえば
A∧「C∨D」などを考えてみれば、意味を考えてみても
ベン図を描いてみても、「A∧C」∨「A∧D」だとわかりますよ。
ド・モルガンの法則は、丸暗記するような法則ではありません。
>>610
ありがとうございます。読ませていただきました。
ド･モルガンでしたね・・・
>>612
>n(AB)^2+m(AC)^2=n(BP)^2+m(CP)^2+(m+n)AP^2
これは点Pのベクトルを、長さの関係式で捉え直した感じですね。
そう考えると先の重心の問題はこの定理を用いるよりは位置ベクトルで考えるほうが
断然スマートだというのも納得できますです。
分からない問いがありまして；；
ｙ＝ｘ2－ｘ－ｋ
がことなる点Ａ、Ｂで交わるとき線分ＡＢの長さが
√10 となるｋを求めよ＾＾；；
ｘ２は 二乗です＾＾
宜しくお願いいたします。
>>614
曲線がy=x^2-x-kの１個だけじゃ交わりようがないでしょうが。
問題が不十分か、間違ってませんか？
すいません；；ｘ軸とです＾＾；；
617 名前：名無しさん [2008/07/14(月) 23:24] >>616
x軸との交点のx座標の計算の仕方はわかりますか？
もし計算の仕方がわかれば、実際に交点のx座標を求めてしまえば
2つの交点のx座標の差がそのまま線分ＡＢの長さ√(10)ですから
そこからkの値が求まります。（k=9/4になるはず）
ありがとうございます＾＾
少し勘違いをしておりました；；
もう一問ほど質問よろしいでしょうか；；
ｎを自然数の定数とする。
2次方程式
ｘ＾２＋4ｘ＋（ｎ－１）＝0
の解がすべてｎになる値と、そのときの解を求めよです；；
坂本龍の「センター数学で大逆転できる本」は使えるでしょうか？
また、使いやすいセンター数学の参考書はありますか？
書店で見ているのですが、なかなか解らないので情報があればお願いします。
>>619
問題，正しいですか？
すいません；；自分で勘違いしてて・・
何とか自力で解けました＾＾
ありがとうございました。
もう1つあるのですが・・・
放物線 y＝－X＾2＋ｋX－（ｋ－１）が常に直線ｙ＝－2X＋3の下方にある。
このときの実数ｋの範囲を求めよです：：
宜しくお願いします＾＾
>>622
共有点をもたなければいいので，連立させ判別式が負になればいいです。
計算すると-2<k<2となります。
ありがとうございます＾＾
626 名前：名無しさん [2008/07/18(金) 21:18] 赤玉２個白玉２個青玉２個がある
１）２個ずつ３組に分ける場合の数は何通りか
２）２個ずつ３人にわける場合の数を求めよ
３）２個ずつ３人にわけるとき３人とも異なる色の玉２個をうけとる確率を求めよ
おねがいします！！
(1) 6!/2!2!2!=90
628 名前：名無しさん [2008/07/20(日) 14:21] ある商品の仕入れ値の2割の利益を見込んで定価をつけた。
ところが安売りの日にこの商品を100円引きで売ることになり、
結局1700円で売ったという。
この商品の仕入れ値を答えよ。
という問題なのですが、さっっぱりわかりません。
誰か解説オネガイします
>>626
2)は7色(14個)7人の場合を先日思いついて解法を考えていました。
ですからどんな解答がつくかを待っていました。
1)は場合分けして次のように求めます。
・同色なし
(赤，白) (白，青) (青，赤)
の1通り
・1組同色
(赤，赤) (白，青) (青，白)
を元にして考え3通り
・2組同色…なし
・3組同色
(赤，赤) (白，白) (青，青)
の1通り
よって5通り
2)は組に区別があるので…
・同色なし 1×3！=6通り
・1組同色 3×3=9通り (Aさんが同色～Cさんが同色)
・3組同色 1×3！=6通り
よって21通り
>>626
3)は難しいですね。大学への数学にここ何年か例題として出ているようです。
確率は物を全て区別するので
赤1・赤2・白1・白2・青1・青2
として考えます。
全ての配り方は
6C2×4C2=90通り
3人とも異なる色になるのは1)の結果を利用すると
(赤，白)は(赤1，白1) (赤2，白1) (赤1，白2) (赤2，白2)
の4通り。(赤1，白1)だったとすると残りは
(白2，青1) (青2，赤2)
または
(白2，青2) (青1，赤2)
の2通り。よって積の法則より4×2=8通り。
組を区別するので3！倍されるので確率は
(8×3！)/90=8/15
となります。
大学への数学では分子を
(6C2-3)×4
としていました。意味は
Aさんには6個の玉から2つ選ぶが同色の3通りは除く
BさんとCさんへの分け方は4通り
ということだそうです。最後の4通りはAさんが(赤1，白1)だったとき
Bさん(白2，青1) Cさん(青2，赤2)
Bさん(白2，青2) Cさん(青1，赤2)
と，Bさん・Cさんを入れ替えた場合です。
>>628
仕入れ値をxとします。すると
利益は0.2x (仕入れ値の2割なので)
定価は1.2x (定価=仕入れ値+利益より)
売値は1.2x-100で，これが1700円なので
1.2x-100=1700
という方程式ができます。これを解き，x=1500なので
仕入れ値は1500円です。
ありがとな
633 名前：新横浜 [2008/07/29(火) 19:15] 実数係数の４次方程式x＾4＋x＾3＋ax＾2＋ｂx＋ｃ＝0・・・①
の１つの解が1＋2ｉであるという。
またα,βはともに①の実数解でα＾3＋β＾3＝－9が成り立つ。
このときa,b,cの値を求めよ。ただしｉは虚数単位である。
という問題で、解答では①の左辺を
{x－（1＋2i）}{x－（1－2i）}（x－α）（x－β）のように
変形、展開して①と係数を比較して基本対称式を用いて
a,b,cの値を出しているのですが、
そのあとにα、βがとも実数であることを確認しています。
問題文にα、βが実数とあるので確認する必要がないように思うのですがどうでしょう？もしかしたら①を上の形に変形した際に同値性が崩れている
（α,βはともに①の実数解⇒
①の左辺＝{x－（1＋2i）}{x－（1－2i）}（x－α）（x－β））
のかなとおもうのですがどちらか教えてください。
よろしくおねがいします。
>>633
> そのあとにα、βがとも実数であることを確認しています。
> 問題文にα、βが実数とあるので確認する必要がないように思うのですがどうでしょう？
問題で実数といっているのだから，実数であることを確認しているのはいいのでは？
と思ったのですが…
> ①の左辺＝{x－（1＋2i）}{x－（1－2i）}（x－α）（x－β））
この因数分解はできますが，α，βは複素数なので実数という保証はないです。
そのへんが疑問に思った理由ですかね？
計算してないので僕もわかってないかもしれません。
これから出掛けるので，帰宅後にまた考えてみます。
>>633
横からですが、
α、βが実数であることを確認しないと
せっかく求まったα、βの値が問の条件を満たさず
「答なし」である可能性があるため、確認が必要。
更に、何故α、βが「実数解」という条件が問に付いてるかというと
問題文によると、「①の１つの解が1+2i」、「α、βはともに①の実数解」としか
書かれておらず、「①の４解が1+2i、1-2i、α、β」とは限らないため
α、βが「実数」解という条件がなければ
α=1+2iやβ=1+2iである可能性が出てきます。
これを防ぐために、問ではα、βは（1+2i、1-2iとは一致しない）「実数」解
という条件が付いているわけです。
>>633
解いてみたので想像で書きますが…
α+β=-3，αβ=2
が，まず求まり，
a=αβ-1=1
b=15-2αβ=11
c=5αβ=10
が得られます。
>a,b,cの値を出しているのですが、
>そのあとにα、βがとも実数であることを確認しています。
ということなので解答を書いた人は
α+β，αβが実数でもα，βは実数とは限らない
ので確認しているのかもしれません。
すいません。おそくなりましたが理解できました。
ありがとうございました。
tの２次方程式t^2-2xt-2y+1=0が-1≦t≦1の範囲に少なくとも１つの
実数解をもつ条件を求めよ。という問題で余事象に注目して解くと
どうなるのか教えていだだけませんか？
通過領域の問題の途中の計算でｘとｙは定数のようにとらえています。
通過領域の問題で余事象に注目して解くというのが解らない。
（なぜ、複雑に解くのか解らないということ）
結果だけなら
t^2-2xt-2y+1=0 は (x-t)^2-x^2-2y+1=0 と変形すれば
x^2+2y-1=0 の x=t(-1≦t≦1) での接線
と解るので -1≦t≦1 の範囲で接線を動かせばいい。
>>639
その方針だと、通過範囲全てを動くかどうかなどの議論が
図形的直感に頼ってしまい、採点者によっては若干減点の
可能性があるので、あまりお勧めできない。
「少なくとも１つの実数解」だから、余事象をとるという
発想はわからんでもないが（普通に解くより面倒だけど）
「がうす」という名前でこういう初等的な質問をしてるのが
気に入らないので、答える気にならない…。
確率がものすごく苦手で助けてください・・・
ある中学生の運動部の部員総数は１７名である。この中から
部長、副部長、キャプテンを１名ずつ選出するとき、その選び方の総数を
求めよ。ただし兼任はないとする。
自分は17C1*16C*15C1としました。何故いけないのですか・・
あと確率の対策のアドバイスを教えてください。
>>638
名前から冷やかしなのかもしれないと思ってレスしませんでした。
まだ見ているなら書きます。
>>641
> 確率がものすごく苦手で助けてください・・・
といいつつ…
> ある中学生の運動部の部員総数は１７名である。この中から
> 部長、副部長、キャプテンを１名ずつ選出するとき、その選び方の総数を
> 求めよ。ただし兼任はないとする。
> 自分は17C1*16C*15C1としました。何故いけないのですか・・
問題が場合の数なのですが…
1.場合の数と確率の区別を気にしていない
2.場合の数と確率の区別ができていない
3.その他
のどれでしょうか？
あと，この問題の正答はどうなっているのですか？
> あと確率の対策のアドバイスを教えてください。
まずは場合の数の解法を身につけるのが大切です。
対策といっても目的・目標によるのでこれくらいしか書けません。
ある中学生の運動部の部員総数は１７名である。この中から
部長、副部長、キャプテンを１名ずつ選出するとき、その選び方の総数を
求めよ
こういった場合は、ほとんどのケースでタイマンを張るのが
もっとも有効だと思われます。
すみません二つ微分が分かりません。
一つはy=sin^4xcos^4x解答は1/4sin4xsin^2*2x（二倍角）
二つはy=sin^5xcos5x解答は5sin^4xcos6x
お願いします。
>>645
三角関数の微分や積分は，計算が正しくても解答と見た目が違うことがあります。
解答に合うように変形するのも勉強になります。
計算方法は以下のファイルを見てください。
http://sakuratan.ddo.jp/uploader/source/date89610.pdf
2つの整式
f(x)＝x^2＋x－3，
g(x)＝x^3＋2x^2＋px＋q
(p，qは実数の定数)があり、方程式f(x)＝0の2解をα，β(α＜β)とする
(1)方程式f(x)＝0を解け
(2)g(x)をf(x)で割ったときの商と余りを求めよ
(3)α，βについて
g(α)＝β
g(β)＝α
が成り立つようなp，qの値を求めよ
(4)α，βについて
{g(α)}^2＋g(α)－3＝0
{g(β)}^2＋g(β)－3＝0
が成り立つようなp,qの値の組をすべて求めよ
をおねがいします!!!（僕相当勉強できないんで）
出来たからいいです
649 名前：名無しさん [2008/08/15(金) 16:34] http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1218100643/835
他所にも書いておいてよくもまぁｗ
何それ。俺知りませんよ ホントに
651 名前：がうす [2008/08/16(土) 16:18] 642 名前：名無し(191) ◆fnVdQViY [2008/08/12(火) 01:06]
>>638
名前から冷やかしなのかもしれないと思ってレスしませんでした。
まだ見ているなら書きます。
＞名前から冷やかしなのかもしれないと思ってレスしませんでした。
これひどくね？下衆の勘繰りってやつだね
>>651
>>638 と同一人物かわかりませんが，答えなくてよかったようですね。
>>639 や >>640 で指摘されている点についてはどう思われますか？
僕はベストな解法でなくても構わないと思ってます。
遠回りな解法を経て，もっといい解法を身につければいいので。
…というようなことを書くつもりでした。
＞>>638 と同一人物かわかりませんが，答えなくてよかったようですね。
なんで？
名前だけで冷やかしと思われてシカトされたら俺も嫌な気分になるよ
>>653
「まだ見ているなら書きます。」に反応がないからです。
シカトというのは違うと思います。
答えるかどうかは自由なので。
>>654
ちょっと横からですが…。
答えるかどうかは自由ですし冷やかしだと判断されるのも191さんの自由だと思います。
しかし実際にそれを言葉に出して言ってしまわれたわけですから、そこに問題があるのではないでしょうか？
>>655
全然数学と関係ないのですが…
どんな人が書いているのかわからないので，「冷やかしなのかもしれない」と思ったのですが，
「かもしれない」でも問題あるんですか？
実際に変な書き込み，いくつかありましたし。
思うのは自由だが、相手に言っちゃいけないだろｗ
「191さんは馬鹿かもしれない」と言われてどう思いますか？
「かもしれない」だから問題ないのでしょうか？
変な書き込み？このスレには>>638しか見当たらないし、
書き込み内容も変には見えません。
>>657
まあ，それを言い出したらきりがないのですが，僕は構わないですよ。
なんでそんなにこだわるんですか？
>>638 の質問者・回答者と全く関係ない人ですか？
変な書き込みは>>575 以降ですかね。
さかのぼればもっとありますよ。
数学と関係がないので，そろそろやめたいです。
数学には関係ありませんが、191さんのレスを見てひどい人だなと思ったので少し言わせてください。
私は以前191さんに教えてもらって大変親切な人で感謝をしていたのですが、191さんに失望しました。
普通の人は後ろにかもしれないなんて付けても傷つきます。
かもしれないだから問題ないと思ってるなんてっておかしいと思います。
↑同意です
191さんって性格悪いのかもしれませんね
アホがいっぱいいるなｗ
質問に答えてくれる相手を自分から減らしてどうする気だよｗ
質問する側に必要なのは、早くて正確な返答であって、
答える側の性格じゃないだろｗ
時々気が向いた時に横からしか返答しない俺だが、
こんなアホばかりじゃますます返答する気にならんわｗ
>>661
書いているのは1人か2人だと思います。
僕の間違いを待っている人もいるようです…。
貴方も律儀に反応する人だなｗ
執拗な質問にも律儀に反応する貴方にはある意味頭の下がる思いだが、
もう少しスルーすることを覚えた方がいいと思うよｗ
XY平面上に
２つの円が外接してて
Ｃ1：x^2＋y^2－10x－10y＋32＝0
Ｃ2：x^2＋y^2＝r^2(rは正の定数)
(1)Ｃ1の中心の座標と半径
(2)rの値
（２）を教えてください^^；
(x－5)^2＋(y－5)^2＝(3√2)^2
中心 (5，5)，半径 3√2
x^2＋y^2＝r^2
中心 (0，0)，半径 r
●２円が外接する
中心間の距離が２円の半径の和となる
(0，0)と(5，5)の距離5√2
5√5＝r＋3√2
r＝2√2
ありがとございます！！
667 名前：隼人 [2008/08/20(水) 22:29] (各色の球には１から４までの整数が１つずつ書かれている．)
赤球４個，白球４個，青球４個の合計１２個の球が箱の中に入っている．この箱から同時に４個の球を無作為に取り出すとき，
(１)取り出した４個の球の色がすべて同じ色である確率
(２)取り出した４個の球に書かれた数がすべて異なる確率
ラストなんでおねがいですｗｗｗｗ
1/165と9/55かな
669 名前：隼人 [2008/08/20(水) 22:58]ごめんなさい解き方が分からないんですが・・・
670 名前：名無しさん [2008/08/21(木) 00:12] 12Ｃ4＝495
(１)取り出した４個の球の色がすべて同じ色である確率
★数字は無視【赤４個，白４個，青４個】
すべて赤…4Ｃ4＝1
すべて白…4Ｃ4＝1
すべて青…4Ｃ4＝1
…(1＋1＋1)/495＝1/165
(２)取り出した４個の球に書かれた数がすべて異なる確率
★色は無視【１が３個，２が３個，３が３個，４が３個】
3^4＝81
…81/495＝9/55
２－√２/２＝１/２√(Ｘ＋１)
Ｘを出したいんですけど
なかなかできないので
どなたか 詳しく説明していただけますか
●２－√２/２＝１/２√(Ｘ＋１)
これは、分母・分子がはっきりしないので、
…どうなのか教えていただけませんでしょうか
６通りも書くのは・・・いくらなんでも
左辺
①(２－√２)/２
②２－(√２/２)
③２－{(√２)/２}
右辺
①１/{２√(Ｘ＋１) }
②(１/２)√(Ｘ＋１)
③と②です
674 名前：名無しさん [2008/08/22(金) 00:09] ２－{(√２)/２}＝(１/２)√(Ｘ＋１) とすると
・・・チェック★√の中が正・・・x＞－1
２－{(√２)/２}＝(１/２)√(Ｘ＋１)
・・・両辺２倍
４－√２＝√(Ｘ＋１)
・・・両辺２乗
１８－８√２＝Ｘ＋１
・・・両辺を入れ替え
Ｘ＋１＝１８－８√２
・・・左辺の（＋１)を右辺へ移項し整理
Ｘ＝１７－８√２＞－１
>>664 の続きなんですが
（3）y＝mxはC1と共有点を持つmの範囲
すいません何度もｗ
>>675
判別式を使う方法
●x^2＋y^2－10x－10y＋32＝0 に y＝mxを代入し
xの二次方程式とし、解を持つように(共有点があるように)
判別式Ｄ≧0 として得られる不等式を解く
点と直線の距離の公式を使う方法
●中心(5，5)との距離が、半径3√2 以下であれば良いので
(5，5)とmx－y＝0との距離≦3√2として得られる不等式を解く
濃度の問題なんですが、
わかる方いたら教えてください。
６％と３％の食塩水がある。
これらを混ぜて５％の食塩水
３００グラムを作りたい。
それぞれどれだけ混ぜればよいか。
わかる方教えてください。
>>677
通りがかりだが…。
６％の食塩水をxグラム、３％の食塩水をyグラムと置いて、
食塩水全体の重量、食塩水の中の食塩の量の２つに着目して
x,yの連立方程式を立てよう。
わからないものがあったら、文字で置くのが基本。
あと、濃度の計算方法はわかりますか？
>>６７８
濃度の計算式はわかりますｗ
濃度（％）＝解けたものの重さ／全体の重さ×１００
この計算式を利用して解くことって
可能ですか？？
(６/１００)ｘ＋(３/１００)ｙ＝(５/１００)３００
ｘ＋ｙ＝３００
２式を連立 ｘ＝２００ ｙ＝１００
これを解説なしで理解できないなら解説をつけます いってください
80円切手と50円切手を合わせて15枚買い、代金を1000円以下にしたい。80円切手をできるだけ多く買いたいとき、それぞれ何枚ずつ買えばよいか。
途中式とかもわからないので
教えてください。
おねがいします。
x+y=15
80x+50y≦1000
y≦x
(x－y－z)^2=x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2zxだったょね？？
684 名前：フェルマー点 [2008/08/29(金) 13:37]おｋ
685 名前：あや [2008/08/29(金) 18:48] >>680
わかりました^^☆
ありごとうございました*｡...+
>>683
ちがうよ
(x－y－z)^2=x^2+y^2+z^2-2xy+2yz-2zx
＋y ⇒ －y
＋z ⇒ －z だね
質問です！
Σ（n，k=1）２／k（k+２） の和を求めよ
という問題なのですが，教えて下さいm(_ _)m
ちなみに答えは n(3n+5)／2(n+1)(n+2) です。
Σのところ分かりにくてすみません。
ｎが上でk=1が下です…
お願いします。
数列の和を求めるときには差の形に変形して邪魔な項を相殺するのが原則です。
そこで２／k（k+２）を次のように変形します
２／k（k+２） =(1/k)-{1/(k+2)}
つまり
Σ（k=1→n）=Σ(k=1→n) [(1/k)-{1/(k+2)}]
を計算すればいいわけです。
Σ(k=1→n) [(1/k)-{1/(k+2)}]
=(1/1 - 1/3)+(1/2 - 1/4)+(1/3 - 1/5)+(1/4 - 1/6)+....{1/(n-1) - 1/(n+1)}+{1/n - 1/(n+2)}
=1/1 + 1/2 - 1/(n+1) -1/(n+2)
これを計算してみてください
>>689
ありがとうございました。
なんとか答え出ました！
Σ苦手なんです…
これから頑張ります！
部分分数に展開すればいいんだね
ほかにどんなテクニックがあるのかな？
〉691
お前、バカだろｗ
>>691
一応、突っ込んでおくと
部分分数分解とは違うぞ。
部分分数分解だろーが
695 名前：フェルマー点 [2008/09/04(木) 22:45]分解?
696 名前：名無しさん [2008/09/04(木) 22:59]フェルマー点は相変わらず何言ってるかわからんね
697 名前：名無しさん [2008/09/05(金) 18:24] >>694
何だ？ お前もフェルマー点と同じレベルか？
1/(k(k+1)(k+2))を部分分数分解すると
普通は、(1/2)*(1/k-2/(k+1)+1/(k+2))だわな。
じゃ、これを利用してk=1からnまでの(nは自然数）
1/(k(k+1)(k+2))の和を計算してみ？
ちゃんとした部分分数分解を知らないかもしれないから
一応、参考リンクを貼っておいてやろう。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%83%A8%E5%88%86%E5%88%86%E6%95%B0%E5%88%86%E8%A7%A3
>>697
-2/(k+1)
を2つに分ければ和が計算出るけど，それは部分分数分解ではない，ということですか？
>>689 の解法の変形は
f(k)-f(k+2)
の形を作るのが目的であって，結果的に部分分数分解と同じ式の形になっているだけ…ということでしょうか？
>>698
YESでもあり、NOでもある。
まず、NOの方については
>>697のリンク先の「部分分数分解」の定義に従えば
一応、1/(k(k+1)(k+2))を、(1/2)*(1/k-2/(k+1)+1/(k+2))に分けるのも
(1/2)*(1/(k(k+1))-1/(k+1)(k+2))に分けるのも
1/(k(k+1))-1/(k(k+2))に分けるのも部分分数分解ということになる。
しかし、この内、∑計算に直接使えるのは２番目だけであり、
（１番目と３番目も更に変形すれば∑計算に使えはするが）
部分分数分解することが、∑計算できることの重要なポイントではない、とわかる。
YESの方については、上に挙げた３つの分解例を使えば
高校の（数IIIの）積分で利用する部分分数分解といえば、普通１番目のものを指し、
>>697のリンク先で部分分数分解の原理の説明も１番目の形のもののみを扱っている。
そういう意味で、∑計算に利用する２番目の形の分解は、部分分数分解ではない
とも言える。
もちろん、全てを正しく理解して使う分には構わないが、中途半端な理解で
1/(k(k+1)(k+2))の∑計算を部分分数分解して計算しようとして
(1/2)*(1/k-2/(k+1)+1/(k+2))まで分解して困ってしまうのは（数IIIを学んだ人に多い）
正しく理解してるとは言えないだろう。
簡単にまとめると
「∑計算に必要なのは、部分分数分解自身ではなく、
ある特定の（a(k+1)-a(k)の形など）形の（部分分数）分解である」
これを単に『部分分数分解すればいいんだね』、と理解するのは
『式変形すればいいんだね』と言ってるのと同じレベルで
ポイントがボケていて実用に耐えない。
というか、久しぶりにアンタを見たよｗ
ついでに補足。
たとえば、1/kのk=1からnまでの（nは自然数）和を計算しようと考えれば
1/kは既に部分分数分解されているにも関わらず、
この和はnの（簡単な）式では表せない。
この例も、部分分数分解自身が∑計算に重要な寄与をするわけではないことを
表している。
（ある特定の（部分分数）分解は、∑計算に利用できるが
それはa(k+1)-a(k)などの形だからであって、部分分数分解だから、
∑計算に利用できているのではない、ということ）
おまけで、復習用の練習問題ｗ
(n+k)/(n×(n+1)×...×(n+k+1))のk=1からnまでの和を計算せよ。（nは自然数）
あ、もちろん>>698さん宛てじゃないよｗ
アンタが正しく理解してることはわかってる。
ほかにどんなテクニックがあるのかな？
702 名前：名無しさん [2008/09/06(土) 09:24] またバカが顔を出したｗ
テクニックと言ってるやつほど、問題が解けないんだよな、
正しく理解できず、ポイントがボケてるからｗ
原点を中心とする半径１の円Oの周上に定点A(1,0)と動点Pをとる。
円Oの周上の異なる２点B,CでPA^2+PB^2＋PC＾2がPの位置に寄らず
一定であるようなものを求めよ。
という問題でP(cos θ,sinθ) B(cosβ,sinβ) C(cosγ,sinγ)として
PA^2+PB^2＋PC＾2＝6-2(1+cosβ+cosγ)cosθ-2(sinβ+sinγ)sinθ
と変形してこれがPの位置によらず一定になるには
1+cosβ+cosγ＝0 ∧ sinβ+sinγ＝0が成り立つときで、逆にこのとき
PA^2+PB^2＋PC＾2は一定である。
のように解答では逆を確認しているのですが同値性が崩れているの
でしょうか？
また崩れているならば理由を教えていただきたいのですがどなたか
よろしくお願いします。
ん? 同値性が崩れていたら逆は成立しないので
逆を確認できている時点で同値性はくずれていないよ。
ちなみに細かいことだけど
PA^2+PB^2＋PC＾2＝6-2(1+cosβ+cosγ)cosθ-2(sinβ+sinγ)sinθ
このままでは、θがばらけているのでθの値によらず一定になる条件というのは断定しにくい。
だから与式を合成して
6-2√{(1+cosβ+cosγ)^2+(sinβ+sinγ)^2}sin(θ+ε) (εは定角)
求める条件は√の中身=0
とアプローチするほうが解答としてはいいと思う。結果的に出てくる式は同じことだけど。
>>703
ついでに横から補足。
その変形ならば、計算するものがPA^2+PB^2+PC^2で
最初から２乗がついているので、計算の途中では同値性は崩れていない。
まあ、説明の書き方が悪くてうっかり必要条件としか書かずに
逆を調べる羽目になることはあり得るがｗ
あとおまけだが、結果の1+cosβ+cosγ＝0 ∧ sinβ+sinγ＝0を良く考えると
これは三角形ABCの重心が原点に来る時だから、座標を置かずに
初等幾何でも示せるはず。
（多分パップスの中線定理およびその一般化を使えば桶）
ああ、おまけの部分についてだが、
初等幾何よりベクトルの方が早いわｗ
少し問題が違うけど、>>595の質問から先を追っていくと
参考になると思う。
>>699
> もちろん、全てを正しく理解して使う分には構わないが、中途半端な理解で
> 1/(k(k+1)(k+2))の∑計算を部分分数分解して計算しようとして
> (1/2)*(1/k-2/(k+1)+1/(k+2))まで分解して困ってしまうのは（数IIIを学んだ人に多い）
> 正しく理解してるとは言えないだろう。
昔そうでした(笑)
手元の(今売ってる)青チャートには差の形を作るということが出ていますが，
「部分分数に分解」と太字になっています。印象に残る言葉なので差の形に
することより大事だと思っちゃいますね。
> というか、久しぶりにアンタを見たよｗ
最近は見に来ると解答済みのことが多かったです。
>>683 は答えられたのですが様子見してました。
なんで様子見してたの？
709 名前：名無しさん [2008/09/08(月) 14:57] ああ、こっちへの突っ込みを忘れてた。
>>704
確かに合成の公式を使うのは悪くはないけど、
そんな高尚な知識を使わなくても
θ=0,π/2,πの３つの値が一致することに着目すれば
簡単に1+cosβ+cosγ＝0 ∧ sinβ+sinγ＝0とわかるよ。
逆に1+cosβ+cosγ＝0 ∧ sinβ+sinγ＝0の時に、一定であることはもっと簡単。
>>707
チャート式、使えねえｗｗｗ
まあ、そんなバカな参考書が大手を振って売られてるから
>>691フェルマー点や>>694のようなバカが生産されるわけだわな。
>>708
お前みたいなクズがいるから、様子見してたんだろｗ
ここは数学の問題を質問するスレであって、個人情報を質問する
スレじゃねえんだよ。
>>709
質問に答えてくれるのはいいんですけど
答え方というのがあって
解説者のほうが立場が上なのはわかりますが
人を不快にするような文面は控えたほうがいいと思います
別に解説者の方が上だとは思っていないけど、
口の聞き方を知らない質問に丁寧に答える義務もないな。
まじめな質問にはそれ相応の丁寧さで答えているつもりだが、
面倒なので他の人に回して、横からのツッコミで済ませて
いることは否定しないよｗ
そういう意味では、どんな質問にも丁寧に答える誰かさんには
尊敬の念を禁じえないねｗ
横からのツッコミってぶっちゃけ回答者からしたら相当うざくないか?
713 名前：名無しさん [2008/09/10(水) 18:51]ぶっちゃけ１９１ってうざいんだけど
714 名前：名無しさん [2008/09/11(木) 01:14] >>712
質問を完全にスルーできたら、こんなスレなんぞ
一々覗きに来ないんだがなｗ
ちなみに、自分が回答側なら理にかなったツッコミは
むしろ歓迎するよ。
>>712が回答側に回ることがあって、うざいと感じるのなら
アンタが回答した分には横から突っ込まないことにしようｗ
2003香川大
√2/2<a<1,2<b<4,√2/2<c<1のとき、２つの数
A=1/log2(a) + 1/log2(b) + 1/log2(c),
B=1/{log2(a)+log2(b)+log2(c)} の大小を比較せよ。
どうすればよいか全く見当がつきません。
よろしくおねがいします…
自分高１なんすけど、できない問題があって困っています
こいつらです
次の方程式を解け
xの二乗－3│x│－18＝0
ある変形さいころにおいて、2回投げたときの
出る目の和が2である確率は64分の1、和が3である
確率は40分の1である。このさいころを1回投げて
2の目が出る確率を求めよ。
これらの問題のやりかたを詳しく教えてください
>715
xの二乗－3│x│－18＝0 だが
xの二乗＝│x│^2 なので xの二乗－3│x│－18＝0⇔│x│^2－3│x│－18＝0
(│x│+3)(│x│-6)=0 │x│+3>0なので │x│-6=0 よって│x│=6
ゆえに x=6,-6
間違えた
>716 ね
変形さいころ
２回サイコロをなげてその和が２ということは
１と１がでるはずで １が出る確率をｘとすると
題意より ｘ＾２＝１/６４ で
よって １の目が出る確率は １/８
２回サイコロをなげてその和が３ということは
１と２がでるはずで ２が出る確率をｙとすると
題意より ｘｙ＝１/４０ で ｘ＝１/８ より
ｙ＝１/５
でいいんじゃないの あぁ眠い・・・・
>715
詳しくてわかりやすいです
ありがとうございます
>719
その問題は、巻末に解説がなく答えだけ書いてある
不親切な問題集のなかの一問なんですが、
答えは1/10とあります。できますか？
>>715
お久しぶりです。
解答書くの，結構大変です。
夜まで誰も答えなかったらPDFをアップします。
この問題，実は2問目で，1問目を利用するようです。
でも単独でも解けます。
>>720
解答は初めから書いておいた方がいいですよ。
(>>2 参照)
>>719-720
>>719と同じように、変形さいころを１回投げて
１が出る確率をx、２が出る確率をyとそれぞれ置くと、
２回投げて和が２になることから>>719と同じようにx=1/8
２回投げて和が３になる確率は、1+2と2+1の２通りあることに
注意すれば、2xyでこれが1/40に等しい。
よって、xy=1/80だからx=1/8よりy=1/10
>>715
とりあえず、X=log2(a)、Y=log2(b)、Z=log2(c)と置いてみよう。
A=1/X+1/Y+1/Z、B=1/(X+Y+Z)で、
a,b,cの範囲から-1/2<X<0、1<Y<2、-1/2<Z<0となる。
>721
そうですね。次からはそうします。
>722
よくわかりました。ありがとうございます。
これらの問題のやり方を教えてください
次の２次方程式が異なる２つの実数解をもつとき、定数ｋの
値の範囲を求めよ。
－ｘ＾2＋2（k－3）x－k＾2＝0
答えはk＜3/2
kx＾2＋2x－1＝0
答えは－1＜k＜0,0＜k
独立な2つの試行T1,T2があり,T1で事象Aが,T2で事象Bが起こり,
P（A）＝1/3,P（AUB）＝2/3が成り立つ。このとき,次の確率を求めよ。
P（B）
答は1/2
>>724
いずれも基本的な問題なので、方針のみ書きますから
後はご自分で考えてみてください。
・１つ目
2次方程式ax^2+bx+c=0（但し、aは0ではないとする）
が異なる２つの実数解をもつ条件について、知っていますか？
あと、２次不等式が解けますか？
・２つ目
１つ目に追加して、k=0の時は「２次方程式でなく１次方程式になる」ので
kが0になる時とそうでない時に場合分けして、kが0にならない時は１つ目と同様。
・３つ目
P（B）=pと置くと、試行T1,T2が独立であることから
P（A∩B）＝P（A）×P（B）＝(1/3)×p
あとは、P（A）,P（B）,P（A∩B）を用いて、P（AUB）が表せますので
この式からpの1次方程式が出てきて解けばＯＫ。
>>725
もらったヒントでなんとかできました。
ありいがとうございます。
名古屋女子大学の１９９８年度の数学アップしていただけませんか？
728 名前：名無しさん [2008/09/17(水) 17:11] ∫1/cosχdx
はどうやって求めれば？
727ですが、１９９８年度の問題です、お願い致します
730 名前：名無しさん [2008/09/17(水) 20:43]赤本買いなよ
731 名前：名無しさん [2008/09/17(水) 21:21]1998年度のものは手に入らないのです。。。すみません。
732 名前：名無しさん [2008/09/17(水) 21:53] >>728
∫【1/cos(x)】dx
＝∫【[cos(x)]/[{cos(x)}^2]】dx
＝∫【[cos(x)]/[1－{cos(x)}^2]】dx
●sin(x)＝t と置く … cos(x)dx＝dt
＝∫【1/[1－{t}^2]】dt
＝(1/2)∫【[1/{1－t}]＋[1/{1＋t}]】dt
＝(1/2)log|{1＋t}/{1－t}|＋Ｃ
●sin(x)＝t と戻す
＝(1/2)log|{1＋sin(x)}/{1－sin(x)}|＋Ｃ
>>728
３行目訂正
×＝∫【[cos(x)]/[1－{cos(x)}^2]】dx
○＝∫【[cos(x)]/[1－{sin(x)}^2]】dx
>>732,733
詳しくありがとうございます。数Ⅲで苦戦していて、とても助かりました。
横からの補足で申し訳ないが、
>>728に限らず、cos(x)やsin(x)の奇数乗の積分は
全て同様に計算できる。
∫(cos(x))^3 dx、∫(sin(x))^5 dx、∫(cos(x))^2(sin(x))^3 dx、
∫1/cos(x) dx=∫(cos(x))^(-1) dx、全て同じ計算方針。
まあ、>>728の場合は、後半で部分分数に分ける手間が余計にかかるが。
うん
737 名前：どうしてもきに名る無し [2008/09/20(土) 03:38] はじめまして
いきなり質問あつかましいとおもいますが
質問：円を書きます。円に触れない線をかきます線のどこかをPとおきます。
Pを接点として円に触れ合う円を作図しなさい。
どうしても解けずに・・・徹夜ですｗｗｗ
今の自分にﾜﾛﾀｗｗｗｗｗ
誰かといてください！！！
コンパス使えば楽なのだが・・・
739 名前：どうしてもきに名る無し [2008/09/20(土) 05:52]むりorz
740 名前：どうしてもきに名る無し [2008/09/20(土) 06:26] めぇっちゃうれしいｗｗｗｗ！！！！！
解けた！！！！！！！
自決しました！！！！
↑↑ｗｗｗｗｗ
自己解決ｗｗｗ
いやいやうれしい！！！！！
なんか表現できひんぐらい！！！
あっっ！！なんか騒ぎすぎたみたいですねｗｗｗ
すみませんｗｗｗ
次の台形ABCDの面積を求めよ。
ＡＤ//ＢＣ,ＡＤ=３,ＢＣ=７,∠Ｂ=４５ﾟ,∠Ｃ=６０ﾟ
宜しくお願いします…!
>>721さま お久しぶりです！
>>722さま
すみません、諸事情で問題が
投げっぱなしになってしまいました(>_<)
また分からない問題があったら宜しくお願いします。
>>741
台形の面積を計算するのに、「上底」と「下底」の長さと「高さ」が
必要なことはわかっていますか？
この内わかっていないのは「高さ」だけですから、わからない長さを
xと置いてみましょう。
「高さ」を図に表すために、Ａから下底ＢＣに垂線を下ろし垂線の足をＨ、
Ｄから下底ＢＣに垂線を下ろし垂線の足をＩとします。
すると、ＨＩ＝ＡＤ＝３で、ＢＨとＩＣの長さはxを用いて表せますから
全部の長さを足したＢＣ＝ＢＨ＋ＨＩ＋ＩＣの長さが７であることから
xの一次方程式が得られます。
あとは、自分で考えてみましょう。
>>740
嬉しいのはわかるが、自決していいよｗ
>>741
ＣＤに平行でＡを通る線をひきそのせんとＢＣとの交点をＥとする
⊿ＡＢＥにおいて ＢＥ＝４ ∠ＢＡＥ＝７５°∠ＡＥＢ＝６０°であり
正弦定理より ｓｉｎ７５°/４＝ｓｉｎ６０°/ＡＢ より
ＡＢがわかり ＡからＢＣに垂線を引くと直角二等辺三角形ができて
台形の高さが ＡＢ/√２ がわかりあとはＯＫね？
＞743さん、＞744さん
解けました!
xとyにおいて連立方程式でできました(´;ω;)
教えてくださってありがとうございました!
>>742
スレ違いかもしれないですが、191さんは女好きですぐメールしようとしてくるから気を付けて
ちなみにこのスレッドの>>191 は静香さんです。
748 名前：名無しさん [2008/09/24(水) 02:49] >>746-747
何？ この天然な流れｗｗｗ
ところで
円Ａと円Ｂと円Ｃと円Ｄにおいて
すべてが同じ接線ｍを持っていて
円Ａと円Ｄがｍ以外の接線を共有していて
円Ａと円Ｂが 〃
円Ｂと円Ｃが 〃
円Ｃと円Ｄが 〃
つまり円Ａと円Ｄと接線ｍの隙間に円Ｂと円Ｃがぴったし入ってるみたいな・・・
円Ａの直径を６４ｃｍ
円Ｂ 〃 ５４ｃｍ
円Ｃ 〃 １１ｃｍ
円Ｄの直径を求めよ！！！
一生懸命説明したけど「図がわかんねｗ」って方はひぃおじいちゃんに聞くか
俺に聞いてください・・・・
外接する２つの円の半径を{(r1)，(r2)}のときの
公式【共通外接線の長さ＝2√{(r1)(r2)}】より
●直径{(2r1)，(2r2)}について考えると
・・・共通外接線の長さ＝√{(2r1)(2r2)}
円{Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ}とmとの接点を{Ｐ，Ｑ，Ｒ，Ｓ}として
円{Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ}の直径{64，54，11，x}から
【円Ａと円Ｄ】ＰＳ＝√{64＊x}＝8＊√x
【円Ａと円Ｂ】ＰＱ＝√{64＊54}＝24√6
【円Ｂと円Ｃ】ＱＲ＝√{54＊11}＝3√66
【円Ｃと円Ｄ】ＲＳ＝√{11＊x}＝√11＊√x
以上から
8＊√x＝24√6＋3√66＋√11＊√x
(8－√11)√x＝3√6(8＋√11)
√x＝3√6(8＋√11)/(8－√11)
＝3√6(75＋16√11)/(53)【約 7.348469228】
★ＰＳ＝8＊√x
＝24√6(75＋16√11)/(53)【約 142.0511752】
★直径＝x
＝{3√6(75＋16√11)/(53)}^2
＝54(8441＋2400√11)/2809【約 315.2896308】
★半径＝x/2
＝27(8441＋2400√11)/2809【約 157.6448154】
お前すごすぎｗｗ
752 名前：名無しさん [2008/09/28(日) 23:42] 答えがない問題なので；；
（３）をほかの人にきいたのですがそれでもわからなくて。。
※・・・～～は私の出した答え。
四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝２、ＢＣ＝１＋√３、∠ＤＡＢ＝105°、∠ＡＢＣ＝60°、∠ＢＣＤ＝75°である。
（１）対角線ＡＣの長さと、∠ＡＣＢの大きさを求めよ。
・・・ＡＣ＝６、∠ＡＣＢ＝45°
（２）△ＡＣＤの面積を求めよ。
・・・√３
（３）三角錐ＰＡＣＤが半径√３の球に内接するとき、三角錐ＰＡＣＤの体積の最大値を求めよ。
おいらの計算チェック必要＾＾；
間違えてたら御免
(1)
余弦定理から、ＡＣ^2＝6 で、
・・・ＡＣ＝√6
ＡからＢＣに下ろした垂線をＡＨとすると
{ＡＨ＝√3,ＨＣ＝√3，ＡＣ＝√6}から
・・・∠ＡＣＢ＝45°
(2)
∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ＝30°，ＡＣ＝√6 から
底辺√6，高さ√2/2 で
・・・△ＡＣＤ＝√3/2
(3)
●△ＡＣＤを底面として高さの最大値を考える
→球を△ＡＣＤを含む平面で切ったときの円を考える。
→その円の中心に立てた垂線と球の交点を考える
①△ＡＣＤの外接円のＯとして半径を考える
∠ＡＤＣ＝150°から∠ＡＯＣ＝60°で正三角形ＯＡＣ
・・・半径ＡＯ＝ＣＯ＝ＡＣ＝ＤＯ＝√6
②断面から球の中心までを考える。
球の半径√3，断面の弦√6から√3，√6/2で三平方の定理で
・・・√6/2
③求める高さが②と球の半径であることから
・・・高さ＝(√6/2)＋√3
④よって、最大値
・・・(1/3)＊(√3/2)＊{(√6/2)＋√3}＝√2＋(1/2)
(3)間違えてる訂正
●△ＡＣＤを底面として高さの最大値を考える
→球を△ＡＣＤを含む平面で切ったときの円を考える。
→その円の中心に立てた垂線と球の交点を考える
①△ＡＣＤの外接円のＯとして半径を考える
∠ＡＤＣ＝120°から∠ＡＯＣ＝120°で
・・・半径ＡＯ＝ＣＯ＝Ｂ０＝ＤＯ＝√2
②断面から球の中心までを考える。
球の半径√3，断面の円の半径√2 で三平方の定理
・・・1
③求める高さが②と球の半径であることから
・・・高さ＝1＋√3
④よって、最大値
・・・(1/3)＊(√3/2)＊{1＋√3}＝(3＋√3)/6
｜a|=｜b｜のとき
a=±b
ってしてよかったでしたっけ？？
誰か教えてください。お願いします
良いと思います。
757 名前：スク [2008/10/26(日) 17:16] 質問です
<>内の文字は右下にある小さい文字の意味です…
a<1>=1, na<n+1>=2(n+1)a<n> (n=1,2,3,…)
(1)b<n>=a<n>/n とするとき，数列{b<n>}の一般項を求めよ。
(2)数列{a<n>}の一般項を求めよ。
分かりにくくてすみません。
↑ちなみに答えは
(1)b<n>=2^n-1
(2)a<n>=n・2^n-1
です。
na<n+1>＝2(n+1)a<n>
【両辺をn(n＋1)でわる】
{a<n+1>}/{n＋1}＝2＊[{a<n>}/{n}]
【b<n>＝{a<n>}/{n} とすると、】
【b<n+1>＝{a<n+1>}/{n＋1} なので】
[b<n+1>]＝2＊[b<n>]
●公比２の等比数列
a<1>＝1 なので、b<1>={a<1>}/{1}＝1
●初項1
よって、b<n>＝2^n-1
b<n>＝{a<n>}/{n} としたので、
【{a<n>}/{n}＝2^n-1 で】
a<n>＝n(2^n－1)
分かりました！
ありがとうございます。
ぉ願いします。。
ｙ＝(x^2)e^(-x/2)、x=t^2-2tとする。0≦t≦4のとき、ｙの最大値はいくらか。
ここで、eは自然対数の底である。
過去問で、答えが
４e^(-1)、１６e^(-2)、３６e^(-3)、６４e^(-4)、その他
のどれかになります。
★他から移動
1 名前：ななみ [2008/10/31(金) 19:19]
袋の中に黒石が２個、白石が４個、合計６個の石が入ってる。
この袋から同時に２個の石を取り出し、次の規則で得点を求めよ。
＜規則＞
黒石が２個出たら２点
黒石が１個と白石が１個でたら１点
白石が２個でたら０点
得点を決め、石を袋に戻すまでを一回の試合とする
(１)この試合を２回行った時の得点の積をＸとする。Ｘ＝２となる確率、Ｘ＝０となる確率をそれぞれ求めよ。
(２)(１)のＸの期待値を求めよ。
★１回ごとの確率
{●●○○○○}から２個取り出す
●●…２点…{(2Ｃ2)＊(4Ｃ0)}/{6Ｃ2}＝1/15
●○…１点…{(2Ｃ1)＊(4Ｃ1)}/{6Ｃ2}＝8/15
○○…０点…{(2Ｃ0)＊(4Ｃ2)}/{6Ｃ2}＝6/15＝2/5
【確認】(1/15)＋(8/15)＋(6/15)＝15/15＝1
★２回行った時の得点の積
４点…２点＊２点
２点…１点＊２点，2点＊１点
１点…１点＊１点
０点…２点＊０点，１点＊０点，０点＊０点，０点＊１点，０点＊２点
★２回行った時の得点の積と確率
４点…(1/15)＊(1/15)＝1/225
２点…(8/15)＊(1/15)＋(1/15)＊(8/15)＝16/225
１点…(8/15)＊（8/15)＝64/225
０点…(1/15)＊(6/15)＋(8/15)＊(6/15)＋(6/15)＊(6/15)＋(6/15)＊(8/15)＋(6/15)＊(1/15)＝144/225＝16/25
【確認】(1/225)＋(16/225)＋(64/225)＋(144/225)＝225/225＝1
★期待値
４＊(1/225)＋２＊(16/225)＋１＊(64/225)＋０＊(144/225)
＝{4＋32＋64＋0}/225
＝100/225
＝4/9点
P(t)=(cosht,sinht)について、P(t)の概形を教えてください。
764 名前：東研学院予備校 [2008/11/16(日) 18:43] >763
P(t) = ～～～～～～～＝＝＝＝＝＝～～～～～
です。
(2)20個の製品の中に4個の不良品が入っている。
その中から同時に3個の製品を
取り出すとき、不良品が1個だけ含まれる確立を求めよ。
4)白玉9個と赤玉6個が入った袋の中から
玉を同時に3個取り出すとき白玉が2個、
赤玉が1個出る確率を求めよ。
教えて下さい＞＜。
>りりさん
(2)
従業員がみなこころをひとつにして働けば
不良品など産まれるわけがないのです。これは数学ではなく
精神論の観点から解かなければいけない問題なのです。
よって、確率はゼロです。
(4)
あらかじめ袋の中から、玉をすべてとりだして
おけばよいのです。すると、問題のパターンで取り出す
確率は１００％です。
こんな問題、朝飯前です。
東研学院予備校にきませんか？
貴方のような他力本願のひとには最高の予備校ですよ。
どうせこのまま他力本願な姿勢で大学受験に臨んでも
良い結果は得られないでしょう。受かったところで、
社会に出ればOLとなり、お茶くみをさせられて、部長や課長に
お尻をなでまわされるだけの存在になるのです。
さあ、私たちがちからになりますから、来なさい。
a>0とする。放物線y=x^2-4ax+a^2と、原点Oを通る直線Lが第4象限において接していて、その接点をPとする。
直線Lの方程式を求めよ！
この問題解いてるときに思ったんですけど、a>0なのに、放物線と直線Lつまり接線のことでしょうけど、接点Pが第4象限でなく第１象限にある気がするんですけど、これはどういうことなのでしょうか？
僕が間違えてるのでしょうか？
>>765
２０個の製品の中に、{１６個の良品，４個の不良品}が入っている。
２０個の製品の中から同時に、３個の製品を取り出すとき
…20Ｃ3＝1140 通り
良品０個，不良品３個が含まれるとき
…(16Ｃ0)(4Ｃ3)＝1＊4＝4 通り
確率…4/1140＝1/285≒0.35％
良品１個，不良品２個が含まれるとき
…(16Ｃ1)(4Ｃ2)＝16＊6＝96 通り
確率…96/1140＝8/95≒8.42％
良品２個，不良品１個が含まれるとき
…(16Ｃ2)(4Ｃ1)＝120＊4＝480 通り
確率…480/1140＝8/19＝42.11％
良品３個，不良品０個が含まれるとき
…(16Ｃ3)(4Ｃ0)＝560＊1＝560 通り
確率…560/1140＝28/57≒49.12％
確認…{4＋96＋480＋560＝1140}
>>767
放物線：y＝x^2－4ax＋a^2
原点Oを通る直線L：y＝mx とし
x^2－(4aーm)x＋a^2＝0 で、Ｄ＝0 から、m＝－6a，－2a
①m＝－6a のとき
…x^2＋2ax＋a^2＝0，x＝－a
…接点(－a，4a)【y＝…第２象限で接する】
②m＝－2a のとき
…x^2－2ax＋a^2＝0，x＝a
…接点(a，－4a)【第４象限で接する】
>>769
判別式だったんですね。
ありがとうございます。
この程度の問題は朝飯前ですよ。
よかったら冬季講習会にきませんか？
もっと詳しい説明をしてさしあげますよ？
じゃ、今ここでしてみろよ
773 名前：東研学院予備校 [2008/11/22(土) 22:09] いえ、それはできません。
教授料金が発生してしまうからです。
われわれの講習会にきてください。
授業料金て‥
言葉にするとたかが１分くらいだろうがァ！
貴方は頭の悪い人のようですね・・・
776 名前：名無し [2008/11/25(火) 22:56]頭のいい人がこんなとこに来てると思ってたのか？
777 名前：盗研学院予備校 [2008/11/26(水) 03:26] >776
これは失礼。その反論を見る限り、あたまは良いようですね。
私どもの予備校には貴方のような人間が必要なのです。
ともにSKY予備校を凌駕するために戦おうではありませんか？
そうやってころっと変わるのがいけないんだよ
779 名前：東研学院予備校 [2008/11/27(木) 04:09] 時代は変わるのです。
我々も変わるのです。
名無しさん
東研学院予備校ででたらめ書いて、東大や早慶に普通に合格する少人数制で、
結構良いここの予備校の今年の卒業生達に反論され、沈没した「阿附門」よ、
７７１・７７３・７７５・７７７・７７９でまたでたらめ書いてるよ。
底抜けの馬鹿だね。レス違いでもあるから・・・・・削除。
すみません。教えてください。
実数a,bは(a-1)^2+(b-1)^2=2を満たし、x=a+b,y=abであるとする。
このとき、点P(x.y)の軌跡の方程式は（A）で、xの変域は（B）である。
（A）はわかるんですが、（B）が分かりません。発想と考え方をおねがいします。
２次方程式と判別式をなぜ使ってるかわかりません。
あとひとつあるんですが、
次のxy平面内の領域をDとする。
4y+x-10≦０、y-x≧０、y+4x+5≧０
点P(x,y)が領域Dを動くとき、F=-2(x^3+y^3)+(x^2+y^2)-6(x+y-1)+12(x+y)-5
の最大値最小値を求めよ。
でなんでF=-2(x^3+y^3)+(x^2+y^2)-6(x+y-1)+12(x+y)-5の最大最小を求めるのに
ｘ+ｙ＝ｋとおいてといているんですか？くわしくおねがいします。
x+y=kとおくことで、
見えない宇宙からの波動エネルギーを感じ取れるからです。
神の言葉をきくのです！！
>781
(a-1)^2+(b-1)^2=2のとき、a+b の変域を求めよなんだから･･･
a＋b＝t とおいて、b＝t－a から、(a-1)^2+(t－a-1)^2=2 として、
a が実数として存在するように判別式を考え、0≦t≦4、つまり、0≦x≦4
●「x^2＋y^2＝1 のとき、x＋y のとる値の範囲を求めよ」的な問題
>782
式が？すべての値をとってるような・・・
>785
おまえはバカか？
とっととうせろ！！
死ぬんじゃーー
788 名前：静香 [2009/01/05(月) 17:36] 2005福井大
平面上に、1辺の長さが2のひし形OACBがあり、対角線ABのながさがは√2である。
tを正の実数とし、線分AC,BCをそれぞれ1:tに内分する点をP,Qとする。
また、直線AQと直線BPの交点をRとする。
↑a=↑(OA)、↑b=↑(OB)とおく。
(1) 内積↑a･↑bの値を求めよ。
(2) ORをt、↑a、↑bを用いて表せ。
(3) 点Aが線分ORを直径とする円の周上にあるとき、tの値を求めよ。
(1)から解けずに困っています。
どなたか解説お願いします(>_<)
>>781
まず(a-1)^2+(b-1)^2=2････①は点(a,b)が円(ｘ-1)^2+(ｙ-1)^2=2上にある････②
というのはいいでしょうか？
Pの軌跡は放物線になりますが、その放物線上の点で例えばx=10000である点は
本当にPが動ける点になるんでしょうか？
元々xはx=a+bとしてますね？a、bについて②を考えると・・・・
つまりPの軌跡は放物線”全体”ではなく、”一部”になります
その部分の求め方ですがPの軌跡の放物線上の2点を使って説明してみます
まず点(2,0)が一部になるかについては
x=a+b=2 y=ab=0
ですから、(a,b)=(2,0)または(0,2)と解けます
これは①を満たす(a,b)=(2,0)または(0,2)に点(x,y)=(2,0)が対応していることになり
一部になると言えます
ところが点(-2,4)は
x=a+b=-2 y=ab=4
これは（解と係数の関係の利用）aとbがt（文字は何でもいいですが）についての2次方程式
t＾2+2t+4=0
の解であることになり、虚数解ですね
つまりPを(-2,4)にするような”実数”の組(a,b)は存在しないのです
これを一般化するとa+b=x,ab=yよりaとbは
t＾2-xt+y=0
の”実数解”ですから、判別式によりｘとyの不等式が得られます
>>782
不等式とFの式を書き間違えてませんか？
x^3+y^3=(x+y)＾3-3xy(x+y)等の変形をしてFがx+yだけの式になるはずなんですが？
>>788
(1)
|↑AB|=|↑b-↑a|=√2ですから両辺2乗ですね
(2)
RはAQとBPの交点ですから
RがAQ上の点⇔↑AR=α↑AQ
RがBP上の点⇔↑BR=β↑BP
αとβをｔで表すことになります
(3)
ORが”直径”となる円ですからある部分の角度が･･･
すみません(2)がうまくまとまりません…
解説おねがいします！
>>791
RがAQ上の点⇔↑AR=α↑AQ････①
RがBP上の点⇔↑BR=β↑BP････②
①や②はいいでしょうか？①の始点をOにすると
①⇔↑OR-↑OA=α(↑OQ-↑OA)
⇔↑OR=(1-α)↑OA+β↑OQ
=(1-α)↑a+β(↑b+(1/(t+1))↑a) (BQ:QCは(1-t):tではなく1:tですよね？)
=(1-α+β/(t+1))↑a+β↑b
同じように②も↑aと↑bで表し、↑aと↑bが↑0でなく平行でないことから係数比較して
αやβをtを用いて表せばいいです
なお、AR:RQやBR:RPの比はメネラウスの定理で出しても構いません
＞①⇔↑OR-↑OA=α(↑OQ-↑OA)
⇔↑OR=(1-α)↑OA+β↑OQ
ここでβが出てくるのはなぜでしょうか？？
>>793
失礼しました
βではなくαですから最後の式は
(1-α+α/(t+1))↑a+α↑b
です
東研学院予備校ででたらめ書いて、東大や早慶に普通に合格する少人数制で、結構良いこ
この予備校の卒業生達に反論され、沈没した「阿附門」よ、また７８６ででたらめ書いてるよ。
底抜けの馬鹿だね。「荒らし」はやめな。「カタリ」は犯罪になるよ。
レス違いでもあるから・・・・・削除
2の９乗×３の９乗の正の約数の和の一の位の和を求めよ
という問題なのですが解答がなくてよくわからないのですが、
解説お願いします。
数学の二次関数について質問させてください。
解説書がなくてどうしていいのか分からず困ってます。
（問）y=x(2)+ax+a+8のグラフが次のようになる定数aの値を求めなさい。
１、y軸の正の部分と交わる
（答）a>-8
２、x軸の正の部分と異なる2点で交わる
（答）-8<a<4
３、x軸の正の部分、負の部分とそれぞれ1点で交わる
（答）a<-8
４、x軸の負の部分と異なる2点で交わる
（答）a>-8
判別式を使うとは思うのですが・・・
もう行き詰ってしまって分かりません。
出来ればすぐに解説していただけるとうれしいです。
よろしくお願いします。
>かなさん
人生に行き詰ったときには、人肌が恋しくなるものです。
・・・よかったらわたしと、ＸＸＸＸしませんか？
白いミルクたっぷりと君のつぼみにぶちこんで差し上げますよ？
ちなみに(1)はね、
y切片が０以上であればいいわけだ。
ってことはだ、x=0のとき、y>0ならいいんだよ。
すると、
y=x^2+ax+a+8をf(x)とすると、
y=f(0)>0ならいいわけだ。
f(0)=0^2+a*0+a+8 > 0
a+8 > 0
a > -8
となるわけだ。俺のミルクを飲んでくれたら
それ以降の解き方もおしえてあげるよ。
798 あほかお前
f(x)=x^2＋ax＋a＋8とするとx^2の係数が正であるのでこのグラフは下に凸となる。
（f(0)とはf(x)の式にx＝0を代入したy切片のこと）
１．省略
２．題意からグラフがx軸と異なる2点で交わる（2つの異なる正の実数解をもつ）ので、
判別式をDとすると、D＞0より
D＝a^2-4(a＋8)＞0
∴a＜-4、8＜a
次に、f(0)＞0だから１．より、a＞-8
さらに、グラフの軸は正だから、-a/2＞0・・・・・※
以上から、-8＜a＜-4となる。
３．f(0)＜0であれば題意を必ず満たす。(∵下に凸のグラフ)
４．２．の※をｰa/2＜0にして他は同様に解く。
別解としてグラフの頂点の座標を用いることもできる。
あえて書くまでもないが念のため799を訂正
誤：2つの異なる正の実数解→正：2つの異なる実数解
Dの正負は解の正負ではなく、実数解をいくつ持つかによって変わる。
>かなさん
799,800のレスは私だが、
私のミルク飲んでくれないかな？(テレ
東研学院予備校ででたらめ書いて、東大、早慶に普通に合格する少人数制で、結構良いここの予備校の卒業生達に反論され、
沈没した「阿附門」よ、また７９８．８０１ででたらめ書いてるよ。もしかしたら別人かもしれないが調べれば直ぐに分かることだが
１文字違いても「カタリ」になり犯罪だよ。
レス違いでもあるから・・・・・削除。
もしかしなくても別人だから
804 名前：スク [2009/02/18(水) 20:06] 質問です
次の関数が連続である区間を求めよ。
(1) f(x)=(x+2)/(x^2-x+1)
(2) f(x)=√(x^2-x-6)
ちなみに答えは(1) (-∞,∞) (2) (-∞,2］,［3,∞)です。
よく分かっていないので詳しく説明してもらえるとうれしいです…
>804
お礼ぐらいいえよ！！！このカスが！！！
797の"かな" = スクだろうが！！
８０２はカタリはやめなと言っているんだよ。確かに犯罪だな。「阿附門」かどうかは知らぬが
荒らすな。
軌跡の問題で、求める点を(X,Y)において最後にx,yに直すのはどうしてですか？
最初から(x,y)ではダメですか？
数３ 一対一対応の演習ｐ１００
「面積の最大最小 直線が動く」
区間p≦x≦q内で、たとえば「曲線y=f(x)と直線x=aとで囲まれる領域」や
「曲線y=f(x)と直線y=mxとで囲まれる領域」の面積の最大、最小を考える時
には、文字aやmを主役にするのではなく、とりあえず曲線と直線との交点のx座標を
適当な文字で置き、これを主役にして立式、計算する
と解法のポイント部分にありますが、なぜでしょうか？？？
>>807
どちらでもいいと思います。
教科書では
東京書籍(旧課程)，文英堂(現行課程 改訂前)，数研出版(現行課程 改訂前)
は全部最初から小文字です。
数研出版の入試問題集数学12ABでは2007年(理系)で大文字でおいたり最初から小文字
だったりしてますが，2007年(文理系)，2006年・2008年(文理系・理系)では小文字です。
>>808
そのページの問題を解いてみましたが模範解答の通りになりました。
計算を見通しよく行うためだと思います。
この問題の場合，面積Sはaの関数になります。Sを求めるには交点のx座標が必要になりますが，
これをaで表すと書くのが大変なのでbのままにしておいた方がよい…ということでしょう。
ただ，解説にある「曲線y=f(x)と直線x=aとで囲まれる領域」だったらaのままでよさそうなので
問題のように 直線y=a の場合でしょうね(問題によるんでしょうけど)。
一般論で書かれると難しく感じますね。
質問いいですか？
x,ｙが２つの不等式x^2+y≦2，y≧0を満たすとき，y+1/x+3の最大値を求めよ
答えが6-2√6らしいのですが計算したら6±2√6が出ました。
6+2√6が不適な理由をおしえて下さい
>>811
y+1/x+3
とは
(y+1)/(x+3)
のことですよね？
点(-3，-1)から放物線に接線を引く…と考えると接線は2本引けます。
条件から-√2 ≦x≦√2なので大きい方だと接点がこの範囲から外れるからです。
説明が足りなかったら言ってください。
>>812
なるほど！傾きが急で接点がずれますね
…すみません，何か証明できる式ってありますか？
>>813
接点のX座標がその範囲内ということを示せばいいです。
重解だから計算は簡単です。
>>814
…たびたびすみません
計算してみたのですが答えが複雑になってしまいました
計算ミスだと思いますが…
計算式お願いします
>>815
x^2+kx+3k-3=0
が重解になるのは
k=6±2√6
のとき。このときの解は(解の公式よりD=0だから)x=-k/2なので
x=-(6±2√6)/2=-3-√6，-3+√6
-3-√6は-√2 ≦x≦√2を満たさない
-3+√6は-√2 ≦x≦√2を満たす
よってk=6-2√6が最大値である。
yについてもx^2+y≦2を満たすというのは接線であることを書いていれば
示さなくていいと思います。
ありがとうございます！
理解できました。
詳しい説明で助かりました。
>>810
わかりました。ありがとうございます！
数３ 一対一対応の演習ｐ４８
不等式への応用
解答（１）
「f´´（X）＞０により、Y＝ｆ（x）のグラフは下に凸である」
が理解できません。なぜそうなるのでしょうか？
またページ右側にある
「（１）を凸性を使わずに解くと」
「～よってｇ´（t）は減少する。」
ここまでは理解できます。
しかし
「～より、ｇ´（t）は0＜t＜1で＋→－と一回だけ符号変化する」
がよくわかりません。①の下にある山形の図を見ればわかるのですが、
ｇ´（t）は減少するという事がどう使われているのでしょうか？
>>818
この本の，この問題の解答はよくないという意見があります。
1対1対応の演習 数3 p48
で検索するといろいろ出てきますが，下に凸の定義がその不等式なんです。ですが，
(前半)
教科書では感覚的に(図で)説明しています。
もし教科書を持っていれば探してみてください(グラフを描く所？)。
(後半)
・g(0)=g(1)=0より同じ高さ(y座標)
・g’(t)は0<t<1で減少
ということで，
接線の傾きが減少してるけど，スタートとゴールで高さが一致
です。
もしg’(t)が定符号だったら
g’(t)>0 ならg(t)は増えっぱなし，g’(t)<0ならg(t)は減りっぱなし
なので高さが一致しません。
符号変化が2回以上あると「g’(t)は0<t<1で減少」に反します。
g’(0)<0，g’(1)>0 とすると，これも「g’(t)は0<t<1で減少」に反します。
g’(0)>0，g’(1)<0 なら満たしますよね。
なお，g’(t)=0 (ずっと0) もg’(t)は0<t<1で減少に反します。
>>818
前半については1対1数3のp30の最初に出てましたね。
ただし，f’’(x)≧0と等号を入れています。教科書では等号がないと思います。
等号を入れるとf(x)=0などの場合も下に凸になってしまうからだと思います。
(1対1の解説でもそういうのは除くとしてますね)
今は等号についてはこだわらないで図2を見てほしいのですが，接線の傾きが増えてますよね？
ということはf’(x)が増加している，つまりf’’(x)>0ということです。
f’’(x)の符号は(グラフを描くときなど)曲線の凹凸についての情報が得られるので，
この図のイメージは大切です(上に凸も同様です)。
※等号はナシで覚えた方がいいと思います。
両方とも大変よくわかりました。詳しくてわかり易い説明をありがとうございます。
822 名前：８０８ [2009/06/28(日) 00:31] 数３ 一対一対応の演習ｐ１３３
関数方程式
（２）３行目
「これはH→０のとき、ｆ（ｘ）{（eのx乗）´}x=0 ‥‥ 」
この右下x=0というのは{}の中のxに０を代入するという意味ですよね？
こんな表記の仕方は初めて見たのですがどんな意味があるのでしょうか？
{（eのx乗）´}x=0は
lim x→a f(x)-f(a)/x-a =f´(a)という微分の定義を使ったものだと思うのですが
この定義に従うなら{（eのx乗）´}x=0
ではなく（eの０乗）´とすべきではないでしょうか？計算結果はどちらも同じになるとは言え
xという文字を使うのはまずいのではないでしょうか？
「～に収束するからf(x)はすべてのxで微分可能であり」
この部分もよくわかりません。
>>822
eのx乗をe^xと書きます(これは一般的な表記です)。
■表記について
{(e^x)’}x=0という表記は教科書には出てきませんね。
お察しの通りe^xを微分してからx=0とする…という意味です。
かっこの中がxの関数だからx=0と書いています。
(f’(a)についてもf(x)を微分してからx=aとしますよね…手順で考えます)
この表記はf’(0)と同じなのですが，具体的な関数の場合はこうやって書かない
と思います(見たことないです)。
つまり{(e^x)’}x=0の意味で(e^0)’とはしないということです。
■微分可能性
(定義域内の)全てのxで微分係数が存在することを示します。
計算の結果，収束するのですべてのxについて微分係数が存在する…だから微分可能です。
(計算方法でなく↑こういうことを聞いてるんですよね？)
■表記について
の方は理解できました。
■微分可能性
についてですが
これはH→０のとき、ｆ（ｘ）{(e^x)´}x=0 +e^x・1
を計算するとｆ（ｘ）{(e^x)´}x=0が0になり
e^x・1の部分がxの値によって変わるのですか？
それともxに0を代入して常に1となるのですか？
常に1となるのであれば収束するというのは理解できますが、
「全てのxで微分可能である」とは言えないのではないかと思うのですが‥
>>824
{(e^x)´}x=0は1です。
全てのxで微分可能ですよ。
∞になったりしてないので。
あれ？
xが残るとダメだと思ってますか？
傾きはxによって変わりますよ。
(導関数はxの関数なので)
h→0でxの式になればいいんですよ。
なるほど～よく理解できました！どうもありがとうございます。
827 名前：８０８ [2009/06/29(月) 01:06] すいません。やっぱりちょっと気になる事があります。
「～収束するからｆ（ｘ）は‥」と解答にありますが、
xの値によって当然ｆ（ｘ）´の値は変わるのに「収束」というのはなぜでしょうか？
>>827
多分例を考えた方がいいでしょう。1対1の問題とは別です。
f(x)=e^xとする。
1. f’(1)を定義から求めなさい。
2. f’(2)を定義から求めなさい。
3. f’(a)を定義から求めなさい。
という問題があったとして1.と2.はxの値が定まっているのでそういう疑問は湧かないと思います。
3.はどうでしょう？x=aにおける微分係数です。これも1.と2.と同じように求まりますよね？
aは任意の実数です。どんな実数でもaの式になります。
これを関数ととらえるのでf’(x)としよう…ということです(導関数と名付けます)。
収束というのはh→0においてです。このときxは定数です。
収束しない例を考えれば納得できるかもしれませんね。
f(x)=1/x において定義から f’(0) を求めよ。
だったらどうでしょう？こういうのを収束しないと言ってます。
その考え方だとf’(x)が定数になるときしか微分可能でない…となっちゃいます。
>>828
》これを関数ととらえるのでf’(x)としよう…ということです(導関数と名付けます)。
ここはaをxに書き換えて，ということです。
>1. f’(1)を定義から求めなさい。
lim h→0 （e^1＋h - e^1）/hですよね？分母のhが消せません。
どうやって定義に従って計算すればいいのでしょうか？
>収束というのはh→0においてです。このときxは定数です。
収束というのはどういう状態なのでしょうか？
「f’(x)の値がなし」以外は
収束していると言えるのでしょうか？
>f(x)=1/x において定義から f’(0) を求めよ。
グラフをイメージして見ましたが、x=0の時は接線がひけないから
微分不可ということでしょうか？
定義からだとlim h→0 (1/x+h -1/x)/hの計算はどうなるのでしょうか？
本当に勉強になります。自分がいかに基礎がわかっていないか痛感しました。
>>830
まずこれから。
>収束というのはどういう状態なのでしょうか？
収束の定義は1対1のp6を見てください。
lim h→0 (1+h)=1
ですよね？1+hは1に限りなく近付きます。
lim h→0 (x+h)=x
ですよね？x+hはxに限りなく近付きます。
両方とも収束しています。後者を
xが残っているから，xによって値が変わるから収束していない
と思っているようですが，これを見てどうでしょう？
(他の部分はあとで)
>>830
> >f(x)=1/x において定義から f’(0) を求めよ。
すみません。これはなかったことにしてください…。
f(0)が存在しないですよね。
> グラフをイメージして見ましたが、x=0の時は接線がひけないから
> 微分不可ということでしょうか？
これは…混乱させてしまいそうなので，「基本的にはそれでいいです」と答えておきます。
> 定義からだとlim h→0 (1/x+h -1/x)/hの計算はどうなるのでしょうか？
いや，これ自体は計算できます。中身は通分して-1/{x(x+h}になるので極限は-1/x^2です。
>>830
> lim h→0 （e^1＋h - e^1）/hですよね？分母のhが消せません。
> どうやって定義に従って計算すればいいのでしょうか？
(e^h-1)/h→1 (h→0)
を利用します。(1対1数3 p6の10・2参照)
したがって
{e^(1+h)-e^1}/h=e(e^h-1)/h→e (h→0)
となります。
>>832
> > グラフをイメージして見ましたが、x=0の時は接線がひけないから
> > 微分不可ということでしょうか？
> これは…混乱させてしまいそうなので，「基本的にはそれでいいです」と答えておきます。
すみません，「接線が引けないなら微分不可能」は正しいです。
(f(x)=1/xの場合はx=0で定義されないからです…接線も引けませんが)
わかりました！丁寧な解説、本当にありがとうございます。
数３ 一対一対応の演習ｐ21
解答１行目
「正2n角形kの外角θは、θ＝2π/2nである。」とありますがこれは公式でしょうか？
>>835
それは…ラジアンでなかったら中2で習います。
多角形の外角の和は2πで，正多角形だから2nで割ります。
(ここで多角形とは凸多角形です)
そうだったんですか（笑）
ありがとうございます
>>837
その解説に出ているおうぎ形の面積の公式は大丈夫ですか？
弧の長さ，弧の長さを用いた面積の公式もあります。
数2で習いますが，あまり出てこないので忘れている人が多いです。
あと，正2n角形の面積は求められますか？(半径1の円に内接するとして)
わりとよく出てくる図です。
＞その解説に出ているおうぎ形の面積の公式は大丈夫ですか？
はい。こっちは大丈夫です！
＞あと，正2n角形の面積は求められますか？(半径1の円に内接するとして)
どうやって求めるのでしょうか？？？
数３ 一対一対応の演習ｐ138
「定積分の不等式」
（イ）（１）の解答について。
各行の計算式が成立してるのは理解できますが、
どういった方針で、何を考えながらこの問題を解いているのでしょうか？
１行目の‥①の式変形からしてどうしてこうしようと思ったのかわかりません
>>839
面積はあとでにします。
着眼点の2はこの問題にふさわしくないのはいいですよね？
2の方法だと計算が大変か計算できない問題に1の方法が使えます。
方針は横に出ているグラフをイメージしています。矢印の行だけでなく全体的にです。
グラフの色のついている部分と斜線部を考えるとわかります。
ただし，解答の2行目の
k-1≦x≦kにおいて…
の部分は，その関数が単調減少であることを言わないといけないと思います。
x=kのときが最小なので，kの式はxの式以下になります。
k≧2は問題からわかるのですが，解答には「k≧2において」と書いた方がいいでしょう。
>>839
> ＞あと，正2n角形の面積は求められますか？(半径1の円に内接するとして)
> どうやって求めるのでしょうか？？？
半径1の外接円の中心をOとし，正2n角形の隣り合った頂点をA，Bとします。
△OABの面積は
OA=OB=1 (外接円の半径を1)
∠AOB=2π/(2n)=π/n
よって(数1で習う三角形の面積の公式で)
1/2 × 1 × 1 × sin(π/n)
正2n角形の面積はこれを2n倍すればいいので
n・sin(π/n)
です。
(正方形や正六角形で確かめるときはn=2，3なので注意(4，6でなく))
辺ABの長さやOからABに下ろした垂線の長さも簡単に求まります。
(垂線を引くと直角三角形ができるので三角比が使えます)
数３ 一対一対応の演習ｐ138 の続きですが
解答1行目の曲線の面積を表す積分区画1からnの式を、
Σを使った積分区画k-1からkの式に変形した理由はAnがΣを使った形なので似た形にするためでしょうか？
2行目でk-1≦x≦kを用意したのは着眼点①「f(x)≦g(x)」を「ｋの関数≦ｘの関数」として使うための準備でしょうか？
3行目の
「①≧Σ‥dx」の下線部分で着眼点①を使っているのでしょうか？
>>842
> 解答1行目の曲線の面積を表す積分区画1からnの式を、
> Σを使った積分区画k-1からkの式に変形した理由はAnがΣを使った形なので似た形にするためでしょうか？
> 2行目でk-1≦x≦kを用意したのは着眼点①「f(x)≦g(x)」を「ｋの関数≦ｘの関数」として使うための準備でしょうか？
区間 k-1≦x≦k において不等式を評価しようということです。
2行目は
2≦x≦3において成立，3≦x≦4において成立，…，n-1≦x≦n において成立
を一般の文字kで示している(全部示している)わけです。
長方形の面積≦グラフの囲む部分の面積
を式で表しています。
1行目は似た形…そうですね，各区間ごとに評価するために積分区間をばらしているんです。
> 3行目の
> 「①≧Σ‥dx」の下線部分で着眼点①を使っているのでしょうか？
これは各区間の場合を加えているんです。
図の区間は全部で n-1 ありますが，まず，各区間で不等式が成立し，
加えることによって定積分と数列の和が比較できる…ということです。
3行目の 「①≧Σ‥dx」の右側ですが、
Σと1/k log関数なら階段の面積の和を表すのはわかりますが、
∫もついているのに階段の面積を表すのでしょうか？
>>844
表します。
∫の中身がxの式でなく，kの式ですよね。だから階段1つ分の面積です。
その外にΣがあるので，それぞれの場合を加えていることになるわけです。
確かに∫の中身がkでそれをxで積分する式です。
でもこれが階段１つを表す理由がわかりません
数３ 一対一対応の演習ｐ125
座標空間における立体
この問題ではベクトルを利用して解いていますが、どうしてベクトルを利用しようと
思うのですか？ベクトルを利用することに気づきませんでした。
>>846
定数cに対して
∫[k-1，k] c dx=c{k-(k-1)}=c
です。cに区間の幅である1を掛けています。
c>0なら階段の面積です。
これと同じことです。
>>847
この問題を解いてみました。
(Bの座標を間違えてしまい時間が掛かってしまいました)
ベクトルを利用しなくてもいいです。座標のまま計算した方が早い気がします。
ただ，問題によってはベクトルを利用した方が点の位置関係がわかりやすくなる
場合があります。
(そういう問題は難しいはずです)
この問題は(1)の意味を理解しましょう。
なぜ点Qが出てくるか…も大事です。
>>848
今回は1/k{log(1＋1/k)}の部分がc(定数)に相当するということですか？
そして個々の定数の計算をΣでまとめているのですか？
積分区画をk-1からkと幅を１にする事により階段状にしているのでしょうか？
定数の積分で積分区画の幅が１の時は階段状になると理解して覚えればいいのでしょうか？
>>849
わかりました。一度、座標でも考えてみます
>>850
> 今回は1/k{log(1＋1/k)}の部分がc(定数)に相当するということですか？
> そして個々の定数の計算をΣでまとめているのですか？
そうです。
> 積分区画をk-1からkと幅を１にする事により階段状にしているのでしょうか？
幅が1なら数列そのものになるからです(他の幅でも階段状ではあるので)。
> 定数の積分で積分区画の幅が１の時は階段状になると理解して覚えればいいのでしょうか？
定数の定積分って長方形の面積ですよね(定数が負なら-1倍ということで)。
この問題やp137の(イ)みたいなのが教科書に出ていると思います(もっと易しい関数のが)。
手元の教科書だと「定積分と不等式」というタイトルがついていました。
p137でも同じことをしていますが，階段の部分は∫を使ってないんですね。
定積分を用いても同じことです。
一応，解答の間をうめてみます。
f(x)=1/x log(1+1/x) とします。
k-1≦x≦kで
f(x)≧f(k) …解答2行目
∫[k-1，k] f(x) dx≧∫[k-1，k] f(k) dx …着眼点1より
k=2，3，4，…，n の場合を加えて
Σ_[k=2,n]∫[k-1，k] f(x) dx≧Σ_[k=1,n]∫[k-1，k] f(x) dx
(↑わかりにくかったらΣを使わずに書いてみてください)
解答の1行目の①より左辺は ∫[1，n] f(x) dx
右辺は a_n
よって
∫[1，n] f(x) dx≧a_n
となります。
書き込みをするには、注意書きをよく読んでからにしてください