NO.10389796

0 名前：萩野暢雄：2006/07/10 14:29

　　　　　　　　　　　　はじめに

このゼミは理系一流校合格のためのものです。ですからかなりきついものもあるかも
知れませんが妥協せずについてきてください。
遅刻途中退出やる気の無い態度は禁止します。
今あなたがすべきことは予習です。ここで言う予習とはただただぶつかってくることです。
人生は選択です。
最後に次の言葉を贈ります。私の人生観そのものです。
「人は不可能だと思うとき、やりたくないと決心しているのである」
「あなたの葬式に出ている人のことを想像してごらんなさい。
　彼らはあなたの人生についてなんといっていますか。そしてなんといってほしかったですか。」

これから順次問題を書いていくので期日までに回答をしてください。
期日になると私が解説します。

１．素数が無限に存在することを証明せよ。(7月13日)

1 名前：匿名さん：2006/07/10 23:50

素数とは｢１以外の約数をもたない｣と否定命題なので背理法の利用を考える

素数が有限個であるとすると、それらをA1,A2,A3.......,Aｎとかける
いま、X＝A1×A2×・・・・・・×An＋１　を考えるとX＞AnなのでXは合成数
よって、XはA1,A2.、、、、、、Anのいずれかで割り切れるはずであるがどんなAｋ(Kは１～n)
で割っても１あまるので矛盾が出た

2 名前：萩野暢雄：2006/07/13 04:21

あまり人が来てない・・・・ショーーーーーーーーック、おーーーん
>>1
まったくそのとおり。素晴らしいです。
これは数学の世界では有名な問題ですが、なかなかの名問だと思いますよ、おーん。
背理法を導入できたかどうかが最大のポイントだ。おーん、
素数を有限個と仮定し、それをすべて掛け合わせ、その値に1をたす、という発想も高度だと思います。
では、今晩に第2回目の問題を出題したいと思います。
それじゃ、さよなら、おーん

3 名前：匿名さん：2006/07/15 02:35

1÷0わ？

4 名前：匿名さん：2006/07/15 03:18

>>3
定義できない

5 名前：匿名さん：2006/07/15 03:21

あなたは1の0乗はなんだと思いますか？

6 名前：匿名さん：2006/07/15 04:15

>>5
1じゃないの？

7 名前：匿名さん：2006/07/15 04:20

なぜ1になるかを証明せよ。

8 名前：名古屋人：2006/07/15 07:51

「証明
１＾０はｌｉｍ（ｎ→０）とみなせるので
ｌｉｍ（ｎ→０）１＾ｎをロピタルの定理を用いて変形すると
（与式）＝ｌｉｍ（ｎ→０）（１／ｎ！）×１＾１
　　　　＝ｌｉｍ（ｎ→０）１／ｎ！
　　　　＝１／１＝１　　　　　証明終り」

9 名前：名古屋人：2006/07/15 07:53

間違えました。
分かると思いますが、２行目１＾ｎが抜けていました。。
＾は累乗です。コレであってますかね？？

10 名前：匿名さん：2006/07/15 16:46

随分むずかしい証明をなさってくれましたね。もちろん正解ですが、僕はもっと簡単な方法で証明できました。

11 名前：匿名さん：2006/07/16 02:07

１＾Xが原点において連続であることを自明としているので間違いですね

12 名前：匿名さん：2006/07/16 04:41

じゃあ正解わ？

13 名前：匿名さん：2006/07/16 06:42

単純に数?指数関数の範囲だけで証明できます。

14 名前：匿名さん：2006/07/16 10:53

君高校生？

15 名前：２：2006/07/16 12:49

１＾ｋ＝１＾N分の１＾(K＋N)　　
ここでK＝０とすれば
１＾０＝１を得る

今ひらめいたんだけど合ってるかな？

16 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/16 14:34

>>15 とてもスジのいい解答だと思います。

僕からも１問出題させていただきます。。
これなんてどうかな？
「π(パイ)が無理数であることを証明せよ。」

17 名前：匿名さん：2006/07/16 21:59

>>16
ムズすぎ。わかる人いるの？

18 名前：匿名さん：2006/07/17 00:03

XnXn=Zn nが2より大きいとき、自然数解をもたないことを証明せよ。

19 名前：匿名さん：2006/07/17 01:13

訂正
Xn+Xn=Zn nが2より大きい時、自然数解をもたない事を証明せよ。

20 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/17 01:39

>>17 過去に阪大(京大だったか？)で出題されたことがあるみたい。実際そのときはほとんど白紙だったみたいです。
ただあるところに着目したら鮮やかに解けるのです。またどこかの後期で出題されるかも・・・
解答は後日書かせていただきます。

21 名前：名古屋人：2006/07/17 01:47

>>15　すごいイイ回答ですね^^僕もそのヒラメキがほしいですｗ

22 名前：名古屋人：2006/07/17 02:09

連レスごめんなさい。
>>16 「証明
　　　πを有理数であるとすると
　　　1以外に公約数を持たない自然数a、bを用いてπ＝a/bと表せる。
　　　従って、a＝bπ
b＝a/π
　　　これは、a、bが１以外に公約数を持たないことに反するので
　　　πは有理数ではない
　　　従って、πは無理数である。　　証明終わり」
うーん、、難しい！！自信はないけど、これしか思いつかなかったので^^;

23 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/17 04:12

>>22 論理的にも的を得ているし、簡潔な解答だと思います。
これを思いつくなんて、あなたタダ者じゃありませんね。
別解としては、三角関数を使う物がありますが、こちらはやや煩雑です。

24 名前：匿名さん：2006/07/17 06:29

このスレのレベルが異様に高い件。

25 名前：名古屋人：2006/07/17 06:58

>>23 ホントですか！？いやぁ～、うれしいですね!!でも、ただの高校生ですよ^^;
今から、三角関数も考えてみます！！

26 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/17 07:09

>>25　是非やってみてください。自分は三角関数の解法を思いつくのに２時間かかりました・・・(笑)

27 名前：匿名さん：2006/07/17 08:12

自演乙　

28 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/17 10:21

　　こんなのも面白い問題だと思います。退屈な方はどうぞ。
「2004個の電球があり、電気はすべてOFFになっています。
電球には1から2004までの番号がそれぞれ1つずつ振ってあります。次の操作を行うとき、最後に電気がONになっている電球は全部でいくつでしょうか？
操作：1≦n≦2004に対し、
n回目にnの倍数の電球のON,OFFを入れ替える。」

つまり、
1回目の操作で1の倍数の電球のON,OFFを入れ替え、
2回目の操作で2の倍数の電球のON,OFFを入れ替え・・・
という具合に2004回操作を行うということです。

29 名前：名古屋人：2006/07/17 12:46

三角関数ひらめきませんでした^^;
あと、電球の問題も数列を使って解こうと試みたんですが
素数が・・・ちょっと、ひらめきがたんなかったです。
今日は、疲れたんで、また考えてみます！
目指せ、全問制覇！なので、これかｋらも面白い問題おねがいします。

30 名前：２：2006/07/17 13:18

>>23
πが整数？ならa＝bπ
b＝a/π
　　　これは、a、bが１以外に公約数を持たない

は正しいですが、この解答だと論理的に正しくありません。
よく読めば解ると思いますが、実際この解答でπでなくても同じ論理で進められてしまいます
(π→eとすると同様に自然対数も無理数であることが示せてしまいます？？？)

31 名前：２：2006/07/17 13:34

ごめんなさい、πが自然数でも正しくないですね。

32 名前：匿名さん：2006/07/17 14:22

誰かXn+Yn=Zn nが2より大きい時、自然数解を持たない事を証明せよ。

33 名前：匿名さん：2006/07/17 20:48

>>32
数学科いってください。

34 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/17 23:26

>>30 でも24のかたは着眼としてはなかなかいいところをついてます。
実はその矛盾？には僕も気付きませんでした。(笑)
>>29　これからもいろいろとupさせていただきます。いっしょに楽しみましょう！
>>32 少し考えて見ます。

35 名前：２：2006/07/17 23:46

>>３３
フェルマーの最終定理ですね。ｎは自然数じゃありませんでしたっけ？
間違っていたらすいません。

36 名前：匿名さん：2006/07/18 02:06

フェルマーの最終定理を証明してください。

37 名前：名古屋人：2006/07/18 09:05

>>30 ありゃ、やっぱり間違いでしたか^^;
電球の問題ですが、２００４回操作を行った後
ＯＮの電球を１　ＯＦＦの電球を０とすると
1,0,0,1,0,0,0,0,1…ってな感じの群数列になりますね。
また、２００４＝１＊２＊２＊３＊１６７であるから
１０回操作が行われることになりＯＦＦである。
従って、（群の数）＝（ＯＮの電球の数）といえる。
群の数は?（ｋ＝１→ｎ）２ｋ＋１のｎであらわせ
不等式?（ｋ＝１→ｎ）２ｋ＋１＜２００４を解いて
０＜ｎ＜－１＋２√５０２
ここで２２＝√４８４＜√５０２＜√５２９＝２３なので
４４＜２√５０２＜４６
４３＜－１＋２√５０２＜４５であるから
これに適する自然数ｎ＝４４
従って、２００４回の操作を行った後ＯＮになっている電球の数は４４個
どうでしょうか？あ、見ずらい長文すいませんでした。

38 名前：名古屋人：2006/07/18 09:08

連続ですいません。
ご覧のとうり、記述力が乏しいのですが、
何か対策があれば教えてください！！
志望大学は名大以上と思っています！！

39 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/18 09:44

>>37 こんどこそ大正解！
>>38 国語の対策ですか？

40 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/18 12:04

問題：
1，2，3のみを使ってｎ桁の数を作る。例えば5桁なら22312とか。
そのとき，3の倍数はいくつできるか。

数学オリンピックの問題を改作してみました。

41 名前：名古屋人：2006/07/18 12:45

やったー^^
いえ、国語ではなく、数学の回答の仕方
とでも言うんですかね？？
上手くかけないんですよ^^;

42 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/18 13:09

>>41 上の解答を見る限り、特に問題はないけど・・・

43 名前：名古屋人：2006/07/18 13:13

そうですか！よかったぁ。
でも自信ないんですよね～
これから、練習して自信つけます^^ありがとうございました。

44 名前：匿名さん：2006/07/18 13:56

基礎力完成数学ＩＩ・Ｂ

講師名：小笹　俊之
設置校舎： 京都校

＜テーマ＞図形と方程式、三角関数、微分法・積分法、ベクトル、数列
＜内容＞数学ＩＩ・Ｂの重要分野について、基本から標準レベルの問題を解くことによって、基本事項の徹底的な理解を目指します。それによって、問題を解くときの解法の糸口を正しく把握できる力を養成します。

45 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/18 14:00

>>43 もし参考にするなら河合出版や東京出版の問題集なんかを見てみてください。
それじゃがんばってね。

46 名前：奇数の完全数：2006/07/18 15:28

２ですが、これから奇数の完全数と名乗らせてもらいます。
＞＞４１
ｎ桁で各桁の和が３の倍数、３で割って１あまる、３で割って２あまるものをそれぞれ
Ｘn、Ｙn、Ｚnとおく(補助列の導入)
ある数が３の倍数⇔ある数の各桁の和が３の倍数
なので
Ｘ(n＋１)＝Ｘn＋Ｙn＋Ｚn
Ｙ(n＋１)＝　　〃
Ｚ(n＋１)＝　　〃
Ｘ1＝Ｙ1＝Ｚ1＝１なのでこれらを解いて
Ｘn＝３＾n-1
よって、３＾n-1個できる

なんかどっかでものすごい勘違いしてる気がする

47 名前：名古屋人：2006/07/20 08:41

僕はそんなスマートじゃないけど同じ答えになりました！
（１）１桁のとき・・・３（１つ）
（２）２桁のとき・・・１２、２１、３３（３つ）
（３）３桁のとき・・・１２３の並べ替えたもの６つ、１１１、２２２、３３３（９つ）
で、これは初項１公比３の等比数列
よってｎ桁目は、第ｎ項と一致するから３＾（ｎ－１）

48 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/20 09:17

>>47 レスが遅れてすみません。二人とも大正解！

49 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/20 09:26

>>46 レスが遅れてすみません。二人とも大正解！

50 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/20 09:30

みなさんさすがですね。いままでのものは難問でしたが、みなさんいとも容易く正解されてしまいました。
これから、またいつか一問だけトンデモなく難しい物を出題したいと思います。